Para Que Sirve Una Tabla De Verdad

Por medio de las tablas de verdad, puede determinarse si las proposiciones que se analizan son una verdad formal o no ; de serlo, entonces esa verdad puede ser determinada por métodos lógicos, si no es así, se puede determinar por métodos empíricos.

¿Qué es y para qué sirve la tabla de la verdad?

Fundamentalmente, una tabla de verdad es un dispositivo para demostrar ciertas propiedades lógicas y semánticas de enunciados del lenguaje natural o de fórmulas del lenguaje del cálculo proposicional : – Sin son tautológicas, contradictorias o contingentes – Cuáles son sus condiciones de verdad – Cuál es su rol

¿Cómo se puede aplicar la tabla de verdad en la vida cotidiana?

Tablas de Verdad Ejemplos: Si no llueve (entonces) iremos a la playa. Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje. Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica.

¿Cómo se determina el valor de la verdad?

Valor de verdad de una proposición – El valor veritativo o valor de verdad de una proposición es un valor que indica en qué medida es verdadera (V) o falsa (F), a veces representado como 1 y 0. Conociendo este dato podemos saber cuándo una proposición es una contradicción (verdadera y falsa al mismo tiempo), y nos permite trasladar su enunciado a otros sistemas lógico-formales, como al álgebra o al código binario,

Para determinar el valor de verdad de una proposición, debemos expresarla primero en lenguaje simbólico, formularla lógicamente, e introducir los valores de verdadero y falso en cada uno de sus términos, para formar lo que se conoce como una “tabla de la verdad”, en la que se expresan las posibilidades del valor de verdad de la proposición.

Esto puede resumirse de la siguiente manera:

p q	pˆq	pˇq	p→q	p↔q	pΔq
V V	V	V	V	V	F
V F	F	V	F	F	V
F V	F	V	V	F	V
F F	F	F	V	V	F

Los símbolos arriba utilizados significan:

ˆ (y): conjunción. ˇ (o): disyunción. → (Si entonces): condicional. ↔ (Si y solo si): bicondicional Δ (o bien o bien): disyunción exclusiva

Así, por ejemplo, la proposición “Si y solo si me gano la lotería, entonces compraré una casa” se expresaría simbólicamente como: p (“me gano la lotería”) ↔ q (“compraré una casa”), ya que en caso de no ganar la lotería, no podría comprarla. Sus valores de verdad serían:

Verdadero. En caso de que gane la lotería y compre la casa (p= V q = V), o que no gane la lotería y no compre la casa (p = F q = F). Falso. En los casos restantes, o sea, que no gane la lotería pero igual compre la casa (p = F q = V), o de que gane la lotería y no compre nada (p = V q = F).

¿Cuál es la importancia de las proposiciones?

La proposición permite realizar un análisis certero de la realidad, al mismo tiempo que permite comprender el mundo de forma ordenada.

¿Cuándo utilizamos la lógica ejemplos?

Ejemplos de lógica en la vida cotidiana Siempre es conveniente consultar con un médico antes de tomar un medicamento; de lo contrario, un paciente puede empeorar su estado de salud. Siempre es preferible tomar el camino más corto para ir a un lugar, porque se tardará menos tiempo en llegar.

¿Qué significa un valor de verdad?

De Wikipedia, la enciclopedia libre En lógica, un valor de verdad es un valor que indica en qué medida una declaración es verdad, En lógica clásica bivalente los valores de verdad solo son dos, usualmente designamos verdadero y falso (y a veces representados por pares como (1,0) o (V,F), etc.).

¿Qué quiere decir la verdad?

La verdad es la coincidencia entre una afirmación y los hechos, o la realidad a la que dicha afirmación se refiere ​ o la fidelidad a una idea. ​ El término se usa en un sentido técnico en diversos campos como la ciencia, la lógica, las matemáticas y la filosofía.

¿Qué es el valor de la verdad y un ejemplo?

50 Ejemplos de Verdad La verdad es la característica esencial de la realidad tal como es. También es entendida como el fenómeno que hace coincidir lo que se piensa con su manifestación objetiva o real. Por ejemplo: el sol sale todas las mañanas, pues cada día aparece por el oriente al amanecer. Dentro del concepto de verdad, podemos destacar dos términos:

• Verdad absoluta, Se llama así a aquellos hechos o afirmaciones que son irrefutables, es decir, que ninguna persona puede contradecir. Es igual para todas las culturas y para todos los momentos de la historia. Por ejemplo: una hora tiene sesenta minutos.
• Verdad relativa, Se llama así a lo que puede ser verdad en un contexto y dejar de serlo en otro. Por ejemplo: ir de vacaciones a la playa es la mejor experiencia.

Puede servirte:

La ciencia se ha encargado, desde sus inicios, de perseguir la verdad de las fenómenos que nos rodean. Por lo tanto, llegar a entender el funcionamiento de la realidad es su objetivo principal, saber por qué suceden las cosas y cómo funcionan. Por eso, su proceso primordial es denominado el, a través del cual se proponen o posibles verdades sobre algo y se elabora un experimento para comprobar si son ciertas, teniendo en cuenta todas las alternativas o variables posibles.

Puede servirte:

1. El agua hierve a cien grados de temperatura.
2. Estados Unidos se conforma por cincuenta entidades estatales.
3. Los relámpagos se producen por el choque de cargas eléctricas en las nubes.
4. El Sol es la estrella más cercana al planeta Tierra.
5. Todo lo que sube tiene que bajar.
6. Dos más dos es igual a cuatro.
7. Un kilómetro tiene mil metros.
8. El mandarín es el idioma que más se habla en China.
9. Una planta necesita de luz para crecer.
10. El hielo es agua en estado sólido.
11. El aceite es menos denso que el agua.
12. La palabra «casa» tiene cuatro letras.
13. Los veganos no comen carne.
14. Enero es el primer mes del año.
15. La Luna gira alrededor de la Tierra.
16. Aristóteles es uno de los principales filósofos de la antigua Grecia.
17. Los colegios son lugares para la formación de las personas.
18. Jane Austen escribió la novela Orgullo y prejuicio,
19. El tambor es un instrumento de percusión.
20. La capital de Italia es Roma.
21. El corazón es un órgano indispensable para vivir.
22. Acercarse al fuego produce una sensación de calor.
23. La orquídea es la flor nacional de Colombia.
24. Penélope Cruz es una actriz de origen español.
25. Las cosas caen al suelo por la fuerza de gravedad.

1. Paul McCartney fue parte de la banda The Beatles.
2. La Torre Eiffel está ubicada en París.
3. Júpiter es un planeta del sistema solar.
4. Las nubes son agua en estado gaseoso.
5. El odontólogo se dedica al cuidado de los dientes.
6. George Washington fue un líder de la independencia de los Estados Unidos.
7. En Gran Bretaña los tres poderes del Estado funcionan en el Parlamento.
8. El primer teorema de la geometría es el de Pitágoras.
9. La filosofía moderna comienza con Emmanuel Kant.
10. Isabel es la segunda reina en la historia de Inglaterra con ese nombre.
11. Juan Rulfo es el autor del libro Pedro Páramo,
12. Luciano Pavarotti fue un cantante de ópera italiano.
13. Las ballenas son los mamíferos más grandes que viven en el océano.
14. La muerte es una parte innegable de la existencia humana.
15. La ira es uno de los siete pecados capitales.
16. Instagram es una de las redes sociales más populares del mundo.
17. La Revolución Francesa tuvo lugar entre 1789 y 1799.
18. Jorge Luis Borges nació en Buenos Aires, Argentina.
19. Es incorrecto poner una coma entre el sujeto y el predicado.
20. Harry Potter es uno de los libros más vendidos de la historia.
21. La papa es un tubérculo.
22. La ley suprema de cada país es la Constitución.
23. Adoptar niños es un acto de amor.
24. Vincent Van Gogh solo vendió dos pinturas estando vivo.
25. La Antártida es el único continente no habitado.

Puede servirte: : 50 Ejemplos de Verdad

¿Qué importancia tiene el operador lógico en las tablas de verdad?

Los operadores lógicos nos ayudan a combinar dos o más afirmaciones para definir si una oración es cierta o falsa. Su uso está basado en las tablas de verdad.

¿Cómo se clasifican los resultados de la tabla de verdad?

1. Introducción – La lógica matemática es una variedad de la lógica filosófica. Podemos pensar a la lógica como el estudio del razonamiento correcto. El razonamiento es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos. El razonamiento correcto es el razonamiento en el que las conclusiones se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos.2.

Inducción, Deducción Existen dos tipos básicos de razonamiento: el inductivo y el deductivo. Si se acepta como válido un principio general, basándose en una serie de experiencias específicas o particulares, se está realizando un razonamiento inductivo. Si, por el contrario, partiendo de una ley general cuya validez se conoce, se infiere la veracidad o falsedad de un caso en particular, se está efectuando un razonamiento deductivo.3.

Proposiciones o enunciados Se define como proposición o enunciado a una oración declarativa carente de ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero nunca las dos cosas simultáneamente. La veracidad o falsedad de un enunciado se llama su “Valor de Verdad”.

Los términos verdadero o falso se consideran como atributos de una proposición, excluyéndose de ellos toda interpretación filosófica.3.1 Proposiciones Abiertas Una proposición abierta (o función proposicional) es una expresión que contiene una variable y que al ser sustituida dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición.

((V) ó (F)). p(x); p(x,y,z,,). El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).3.2 Proposiciones Cerradas Si dentro del enunciado de una proposición no aparece ninguna variable, y por consiguiente tiene un valor de verdad definido, la proposición es cerrada.4.

• Proposiciones Compuestas En aritmética se realizan operaciones mediante operadores elementales, tales como +, -, x, ÷, etc.
• En lógica matemática se dispone de los denominados operadores lógicos, que permiten modificar proposiciones, o asociar dos o más enunciados simples, convirtiéndolos en proposiciones compuestas.

Conectivos lógicos Permiten relacionar proposiciones para formar nuevas proposiciones. Igualmente permiten definir “operaciones” en los conjuntos para obtener nuevos conjuntos.

Tabla conectivos lógicos.
	Conjunción.	“y”.
	Disyunción.	“o”.
	Condicional.	“si p entonces q”.
	Negación.	“no”.
	Bicondicional. (ó doble implicación).	“p si y sólo si q”.

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de cada proposición simple que la compone, y del tipo de operador empleado. Negación La negación de una proposición hace cambiar el valor de verdad de la proposición original.

Si p es una proposición cualquiera, la negación de p puede representarse de la siguiente manera: p’ O alternativamente: ~p Y se lee: p’ : No p Conjunción Dos enunciados simples pueden combinarse mediante la letra y para formar una proposición compuesta, que es la conjunción de los primeros enunciados.

Si p y q son dos proposiciones cualesquiera, su conjunción se escribe p y q, y se representa simbólicamente: p Ù q O alternativamente: p, q El valor de verdad de la conjunción de dos proposiciones es verdadero únicamente si los valores de verdad de ambos enunciados son verdaderos Disyunción Inclusiva Si integramos dos enunciados mediante la letra o, el nuevo enunciado se llama disyunción inclusiva de los dos anteriores, o disyunción.

Si p y q son dos proposiciones, su disyunción inclusiva se escribe p o q, y se simboliza: p Ú q O alternativamente: p + q El valor de verdad de la disyunción inclusiva es falso exclusivamente cuando los valores de verdad de los dos enunciados originales son falsos. Disyunción Exclusiva Una variante de la disyunción inclusiva es la disyunción exclusiva, cuyo valor de verdad es verdadero solamente cuando uno de los valores de verdad de las proposiciones asociadas es verdadero.

Si las dos proposiciones son verdaderas o las dos son falsas, el valor de verdad de la disyunción exclusiva es falso. Si p y q son dos proposiciones, su disyunción exclusiva se escribe p ó q y se simboliza: p Ú q Condicional o Implicación Material Si p y q son dos enunciados, la proposición compuesta si p entonces q se llama condicional de p y q, y se escribe: p ® q Siendo la proposición p el antecedente del condicional y q el consecuente.

El valor de verdad del condicional es falso solamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Otras maneras de describir literalmente el condicional son las siguientes expresiones: p ® q: p es condición necesaria para q p ® q: q es condición suficiente para p Conversa, Inversa y Contrapositiva del Condicional Si se tiene un condicional de la forma p ® q, quedan definidas las siguientes expresiones: q ® p : conversa de p ® q p’ ® q’ : inversa de p ® q q’ ® p’ : contrapositiva de p ® q Bicondicional Se define como bicondicional de dos proposiciones (p, q), a la conjunción de los dos condicionales posibles (p ® q, q ® p), es decir que la proposición p es condición para q y, al mismo tiempo, la proposición q es condición para p.

El bicondicional se representa: p « q De una manera literal el bicondicional se expresa: P « q : p si y sólo si q p « q : p es condición necesaria y suficiente para q p « q : p es condición para q y q es condición para p p « q : si p entonces q y si q entonces p El valor de verdad del bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas o cuando ambas son falsas.5.

• Polinomios Booleanos o fórmulas Al ligar variables algébraicas mediante operadores (+, -, x, ÷) y signos de agrupación, se generan los denominados polinomios algébricos.
• Ejemplo Reducir a un polinomio algébrico la siguiente expresión: (x.x.x) – 2(x.y.z.y) + 4(x.x.y) – (z.z) + 3(z.y.z.z) El polinomio simplificado es: x3 – 2xy2z + 4x2y – z2 + 3yz3 De igual forma, relacionando proposiciones mediante operadores lógicos y signos de agrupación, se pueden construir polinomios booleanos o fórmulas.

El valor de verdad de una fórmula depende de los valores de verdad de las proposiciones simples que la conforman y de las operaciones que en ella se realizan. El orden de ejecución de las operaciones, dentro de un polinomio booleano está definido por la siguiente secuencia de prioridades: i.

• En primer término se ejecutan las operaciones definidas por los signos de agrupación. ii.
• La segunda prioridad la tiene la operación de negación. iii.
• Las operaciones condicional y bicondicional tienen un tercer nivel de prioridad. iv.
• La conjunción y disyunción tienen un cuarto y último nivel de prioridad.

En general, si no existen símbolos de agrupación que prioricen las operaciones consecutivas de igual nivel, se las ejecuta de izquierda a derecha. Para representar polinomios booleanos se emplean las primeras letras minúsculas del alfabeto. Así, si un polinomio involucra a las proposiciones p, q, r,,, se puede simbolizar: a(p, q, r,,), b(p, q, r,,), c(p, q, r,,),,

Su representación simplificada es: a, b, c,, Las operaciones que se realizan con proposiciones pueden ser efectuadas con polinomios booleanos, siguiendo las mismas reglas del algebra de proposiciones, ya que los polinomios booleanos participan de la misma propiedad básica de las proposiciones simples, cual es el atributo de veracidad o de falsedad.6.

Tablas de Valores de Verdad Las tablas de valores de verdad constituyen una manera objetiva de detallar los valores de verdad de proposiciones compuestas y polinomios booleanos, dependiendo de los valores de verdad de las variables y constantes proposicionales que los conforman.

V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

1 Decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad (en todas sus interpretaciones). También decimos que dos proposiciones son equivalentes cuando la bicondicional que se forma entre ellas es una tautología y viceversa.2.

• Según la tabla de verdad que tiene una proposición, esta se clasifica en tautología, contradicción e indeterminación.
• Una proposición se llamará tautología si para cualquier valor de sus componentes (en cualquiera de sus interpretaciones), su valor de verdad siempre es verdadero.
• Una proposición será llamada una contradicción si para cualquier valor de sus componentes (en cualquiera de sus interpretaciones), su valor de verdad siempre es falso.

Se dice que una proposición es una indeterminación cuando su tabla de verdad tiene valores de verdadero y de falso. Una implicación es una condicional de la forma, tal que es verdadera suponiendo que p es verdadera, y tiene que existir una relación causa-efecto entre p y q.

Además, una implicación entre p y q se escribe, y se lee “p implica a q” ó “si p entonces q”. Una equivalencia es una bicondicional de la forma, en donde es una implicación y es también una implicación. Se escribe, y se lee “p es equivalente a q” o “p si y sólo si q”. Sean A, B dos conjuntos cualesquiera, diremos que si y sólo si,

,6.1 Fórmulas Tautológicas Son aquellas expresiones lógicas cuyo valor de verdad es siempre verdadero, sin importar los valores de verdad que tengan las variables proposicionales. Las tablas de valores de verdad de las tautologías tienen exclusivamente valores de verdad verdaderos, en la columna correspondiente,6.2 Fórmulas Contradictorias Son aquellos polinomios booleanos cuyo valor de verdad es siempre falso, sin importar los valores de verdad de las distintas variables proposicionales.

Leyes del Algebra de proposiciones

7.1 Conmutativas: La conjunción, la disyunción inclusiva y la disyunción exclusiva poseen la propiedad conmutativa, lo que se representa: p Ù q º q Ù p p Ú q º q Ú p p Ú q º q Ú p Para demostrar estas leyes se emplean las tablas de valores de verdad de las dos expresiones lógicas que aparecen a cada lado de las equivalencias lógicas.

p	q	p Ù q	q Ù p
V	V	V	V	V	V	V	V
V	F	V	F	F	F	F	V
F	V	F	F	V	V	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F
		1	5	2	3	6	4

table>

p q p Ú q q Ú p V V V V V V V V V F V V F F V V F V F V V V V F F F F F F F F F 1 5 2 3 6 4

table>

p q p Ú q q Ú p V V V F V V F V V F V V F F V V F V F V V V V F F F F F F F F F 1 5 2 3 6 4

Se puede observar claramente que si se cambia el orden de las proposiciones simples en las operaciones de conjunción, disyunción inclusiva y disyunción exclusiva, la tabla de valores de verdad no se altera, por lo que, tanto la conjunción como la disyunción inclusiva y la disyunción exclusiva gozan de la propiedad conmutativa.7.2 Leyes de Identidad: Si se define por V a una expresión lógica cuyo valor de verdad es siempre verdadero (expresión tautológica), y por F a una expresión lógica que siempre es falsa (expresión contradictoria), se cumplen las siguientes equivalencias lógicas: V Ù p º p V Ú p º V F Ù p º F F Ú p º p Para demostrar estas propiedades se emplean las respectivas tablas de valores de verdad.

Leyes Asociativas:

La conjunción, la disyunción inclusiva y la dsiyunción exclusiva tienen la propiedad asociativa, lo que se expresa: (p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r) º p Ù q Ù r (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) º p Ú q Ú r (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) º p Ú q Ú r La tabla de valores de verdad correspondiente a la propiedad asociativa de la conjunción es:

p

q

r

( p Ù q ) Ù r

p Ù ( q Ù r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

1

7

2

8

3

4

10

5

9

6

Al comparar las columnas con ordinales 8 y 10, se obtienen valores de verdad idénticos, por lo que se deduce que la conjunción posee la propiedad asociativa, es decir, que si en una expresión lógica aparecen varias conjunciones en cadena, se las puede agrupar de la manera más conveniente, sin afectar al resultado final, desde un punto de vista lógico.

p

q

r

( p Ú q ) Ú r

p Ú ( q Ú r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

1

7

2

8

3

4

10

5

9

6

Los valores de verdad de las columnas 8 y 10 son iguales, por lo que la disyunción inclusiva también posee la propiedad asociativa, lo que significa que si en una expresión aparecen varias operaciones de disyunción inclusiva en cadena, se las puede agrupar arbitrariamente. La tabla de valores de verdad de la propiedad asociativa de la disyunción exclusiva es:

p

q

r

( p Ú q ) Ú r

p Ú ( q Ú r)

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

1

7

2

8

3

4

10

5

9

6

Los valores de verdad de las columnas 8 y 10 son iguales, por lo que la disyunción exclusiva también posee la propiedad asociativa, lo que significa que si en una expresión aparecen varias operaciones de disyunción exclusiva en cadena, se las puede agrupar arbitrariamente.7.4 Leyes de Idempotencia: La conjunción entre una proposición y ella misma es lógicamente equivalente a la propia proposición,

p	p Ù p	p Ú p
V	V	V	V	V	V	V
F	F	F	F	F	F	F
	1	5	2	3	6	4

Al observar las tablas de valores de verdad se pueden verificar las leyes de idempotencia,

El Lenguaje de las matemáticas como Lenguaje Analítico.

,El uso de cuantificadores y variables no es común en el lenguaje coloquial, sin embargo cuando se comprende todo el poder expresivo y a la vez riguroso de ellas se ha dado el primer paso para saber expresarse con él. “todo S es P” y “algún S es P” que se representan como: ” x y $ x respectivamente, donde S(x) simboliza “x es S” y P(x) simboliza ” x es P”.

” x Î A, P(x) y $ x Î A, P(x)

donde A es un conjunto y P(x) denota una propiedad acerca de x. Las expresiones anteriores son abreviaturas usuales en matemáticas, respectivamente de los enunciados:

” x y $ x

Es común cometer errores en alguno de estos casos al traducir, si bien no hay una regla formal, es bueno recordar que los juicios universales se escriben con implicación y los existenciales con conjunción. Eso no quiere decir que no pueda aparecer un cuantificador universal con conjunción o un existencial con implicación, sino que no es usual.

Por ejemplo considérese el caso de las fórmulas ” x y ” x, si G(x) significa “x es gato” y M(x) significa “x maúlla”, entonces la primera fórmula traduce la afirmación “todos los gatos maúllan”, mientras que la segunda nos dice algo mucho más fuerte que es “todos son gatos y maúllan”. El caso del existencial con una implicación es más complicado pues tiene un significado extraño y poco usual.

Hay que hacer notar que aunque el lenguaje analítico o formal es limitado por su carácter tan riguroso, tiene varias ventajas, como son: a) Evitar la ambigüedad del lenguaje natural. b) Ser conciso y riguroso.

1. Inducir a la concentración en lo que es esencial.
2. Economía de pensamiento.

Pero aún así, muchas nociones se pueden expresar de varias formas distintas entre sí, pero lógicamente equivalentes, es decir, que ambas significan exactamente lo mismo, para cualquier interpretación. Por ejemplo, expresemos “hay un único número primo par” de tres formas distintas pero lógicamente equivalentes, usando P(x) para simbolizar “x es número primo par”:

i) $ x

(Hay un individuo tal que: es primo par y todo primo par es él).

ii) Ù ” x ” y

(Hay un individuo que es primo par. Y cualesquiera dos primos pares son el mismo).

iii) $ x ” y

(Hay un individuo tal que: es igual a todos los primos pares y sólo a esos).

También hay que hacer notar que algunos enunciados no se pueden traducir con todo su significado intuitivo por el contenido psicológico que tienen algunas palabras, como por ejemplo, la palabra “pero”, cuya traducción aceptada es una conjunción; es decir, simplemente como una “y”, pero que, sin embargo, significa algo más que “y”; algo como no deseado o no esperado y que se quiere enfatizar.

Esto no se recupera al traducirlo al lenguaje analítico. Por ejemplo, “6” es par pero no es múltiplo de 4”, se traduce como “6 es par y 6 no es múltiplo de 4”. Otro ejemplo es la expresión “a menos que”, la cual se traduce simplemente como una disyunción, o sea, como “o”, aunque el contenido psicológico induce a muchas personas a traducirla como una disyunción excluyente: “uno u otro pero no ambos”.

Por ejemplo, “iré de vacaciones a menos que no tenga dinero”, se traduce como “iré de vacaciones o no tengo dinero”. El lenguaje analítico es un valioso instrumento para analizar, aclarar y expresar en forma precisa, el significado de enunciados del lenguaje ordinario, ya sea del discurso común o de las ciencias.

Este lenguaje permite enunciar lo que queremos, más explícitamente que el lenguaje ordinario, y expresar ideas complejas evitando las ambigüedades que la estructura del lenguaje cotidiano no puede eliminar con facilidad. Pongamos como ejemplo el enunciado: “él la vio a ella con el telescopio”. No sabemos si él la vio a ella a través del telescopio o si él la vio a ella y ella llevaba un telescopio.

En el lenguaje analítico se puede precisar exactamente lo que se quiere decir de modo que estas ambigüedades desaparecen. Pero estas ventajas tienen un precio: hay que aprender a hacer distinciones poco comunes. Hay que dominar un nuevo lenguaje, y las nuevas formulaciones de enunciados aparentemente simples, son resultado de un trabajo analítico cuidadoso.

9. Criterios de Verdad

Es muy importante aprender a conocer los criterios de verdad de los conectivos, los cuantificadores y la igualdad y saber analizar, a partir de ellos, la verdad o falsedad de cualquier enunciado interpretado, especialmente el caso del condicional. Es necesario conocer claramente los criterios de verdad para la negación, la disyunción, la conjunción, el condicional, el bicondicional, la cuantificación existencial y la cuantificación universal.

Una interpretación para el lenguaje analítico consiste de un conjunto de objetos llamado universo de la interpretación y de relaciones, operaciones y elementos particulares de ese universo de la interpretación. Supongamos que P y Q representan afirmaciones expresadas en el lenguaje analítico y que respecto a una interpretación dada son verdaderos o falsos.

Los criterios de verdad son los siguientes: 9.1 Una negación “no P” denotada ( Ø P), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es falsa respecto a esa interpretación.9.2 Una disyunción “P o Q” denotada (P Ú Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación o Q es verdadera respecto a esa interpretación.

Una conjunción “P y Q” denotada (P Ù Q), es verdadera respecto a la

interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación, y Q es verdadera respecto a esa interpretación.

9.4a. Una condicional “si P entonces Q” denotada (P ® Q), es falsa respecto a

la interpretación dada, si P es verdadera respecto a esa interpretación y Q es falsa

respecto a esa interpretación.

9.4b. Una condicional “si P entonces Q” denotada (P ® Q), es verdadera

respecto a la interpretación dada, si no es falsa respecto a esa interpretación; es

decir si no sucede que P es verdadera y Q es falsa respecto a esa interpretación.

9.5. Una bicondicional “P si y sólo si Q” denotada (P « Q), es verdadera respecto a la interpretación dada, si ambas P y Q son verdaderas respecto a esa interpretación, o bien ambas P y Q son falsas respecto a tal interpretación.

Una cuantificación existencial ( $ x Q) es verdadera respecto a la

interpretación dada, si hay al menos un individuo en el universo de esa interpretación, tal que Q es verdadera respecto a esa interpretación y respecto a ese individuo.

Una cuantificación universal ( ” x Q) es verdadera respecto a la interpretación

dada, si para todos los individuos en el universo de esa interpretación, Q es verdadera respecto a esa interpretación y respecto a cada uno de ellos. Es importante tener claro que la verdad o falsedad de un enunciado en una interpretación depende de lo que signifiquen – respecto a la interpretación dada – las relaciones, operaciones y objetos individuales acerca de los cuales “habla” el enunciado. Esto es, la verdad de un enunciado depende de la interpretación y no es en general absoluta, sino relativa a la interpretación. Es decir, un mismo enunciado puede ser verdadero en una interpretación y falso en otra; por ejemplo el enunciado $ x ” y (hay un individuo en la relación ” < " con, o es igual a, cualquier individuo), es verdadero respecto a la interpretación que consiste de N (los números naturales) con su relación de orden usual, pues hay uno menor o igual que todos, pero es falso respecto a la interpretación que consiste de Z (los números enteros) con su relación de orden usual, pues no hay uno menor o igual que todos. Es verdadero también respecto a la interpretación que consiste de P(A) (llamado potencia de A, el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto A), con la relación “ Ì ” de contención propia entre conjuntos, pues hay uno contenido en todos (el vacío). Un caso especial que es excepción de la relatividad de la verdad explicada en el párrafo anterior, es el caso de los enunciados universalmente verdaderos o universalmente válidos o verdades lógicas, que son verdaderos respecto a cualquier interpretación, debido sólo a su forma, por lo cual se consideran vacíos de contenido, pero son muy útiles en las demostraciones y en los razonamientos correctos. Ejemplos de enunciados universalmente válidos son: i) P(c) Ú Ø P(c) "c cumple la propiedad P o no la cumple" ii) « "es el caso que x cumple Q si cumple P, si y sólo si es el caso que x no cumple P si no cumple Q"

iii) « Ø “es el caso que c cumple Q si cumple P,

si y sólo si no es el caso que c cumpla P

iv) ® “si hay alguien en la relación P con todos, entonces para todos hay alquien en la relación P con ellos”

v) P(c) ® $ x P(x) “si c cumple la propiedad P, entonces

hay alguien que cumple la propiedad P”

vi) Un interesante ejemplo de enunciado universalmente válido es:

Ø$ x ” y

“No hay en el universo de interpretación un individuo tal que todos los individuos (de ahí) que no están en la relación R consigo mismos, estén en la relación R con él, y sólo esos.” Este enunciado universalmente válido es la explicación lógica a la Paradoja de Russell, ya que interpretando R(y,x) como “y Î x” en el universo de los conjuntos, y traduciéndolo al lenguaje natural, tenemos la versión conjuntista de la paradoja: “no hay un conjunto cuyos elementos sean exactamente los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, y sólo esos”.

Este conjunto no puede existir por una razón que es esta verdad lógica Interpretando R(y,x) como “x rasura a y” en el universo de los hombres de Jonesville, tenemos la versión popular del barbero: “no hay un hombre ahí que rasure exactamente a aquellos que no se rasuran a sí mismos, y sólo a esos” 10.

Equivalencias Lógicas Dos enunciados P y Q son lógicamente equivalentes si y sólo si respecto a cualquier interpretación, ambos P y Q significan exactamente lo mismo. Es decir, para cualquier interpretación ambos P y Q son verdaderos o ambos son falsos.

¿Cuántas tablas de la verdad existen?

Existen 3 tipos de tablas de verdad, estas son; negación, conjunción y disyunción, a continuación conoceremos más acerca de su funcionamiento.

¿Cuál es el objetivo de la lógica proposicional?

La lógica estudia el razonamiento humano – Podemos distinguir dos tipos de lógica:

• La lógica aristotélica que estudia los conceptos, en especial los predicables y las categorías. Se ocupa del razonamiento : deductivo, categórico o de silogismos, como formas de conocimiento científico.
• La lógica matemática o proposicional consiste en utilizar símbolos a través de tablas de verdad que nos indican lo verdadero o falso.

¿Cómo saber si una proposición es verdadera o falsa?

Se usa el símbolo ∧ para indicar la palabra y. De esta manera, P∧Q significa P y Q. La proposición P ∧ Q es verdadera si ambas proposiciones P y Q son verdaderas. En cualquier otro caso, es falsa.

¿Qué es la lógica proposicional y cuáles son sus aplicaciones?

¿Qué es la lógica proposicional? – Lo que es la lógica proposicional también se conoce como lógica matemática o lógica simbolice. Se trata del estudio de las lógicas proposicionales o sentencias lógicas, en donde se intenta evaluar la verdad y su nivel absoluto. Se relaciona con la matemática, ya que utiliza símbolos que, a través de tablas de la verdad, indican lo verdadero y lo falso. La lógica proposicional forma parte de la lógica clásica, y permite estudiar las implicaciones de las variables proposicionales, así como los valores de verdad de las proposiciones. Estos valores se construyen a partir de conectores lógicos, y son aplicables tanto en matemáticas como en otras ramas de conocimiento.