Qué Es Una Tabla De Variación

Elaborar la tabla de variaciones de f en l – f siendo derivable en adelante, para cualquier intervalo J incluido en: – si f'(x) > 0 para toda x perteneciente a J, f se cruza estrictamente sobre J. – si f'(x) < 0 para toda x perteneciente a J, f no se cruza en J. La tabla de variaciones es la representación esquemática de las direcciones que toma la curva representativa de una función. Para que practiques, coloca las flechas en la tabla de la parte inferior. La tabla de variaciones de f es dada por:

x	-∞	-3 1	+∞
f(x)	33 +∞ -∞ 1

Señalemos que f(-3)=33 y f(1)=1 Calculemos los límites de la función: = = +∞ = = -∞ (ya que un número negativo dominado por una potencia impar permanece negativo) Según la tabla de variaciones de f, se confirma que posee un máximo en el punto A (-3;33) y un mínimo en el punto B (1;1). ¿Buscas clases particulares matematicas Madrid ?

¿Qué es la variación proporcional para niños?

Variación directa Aprendizaje esperado : c alcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación). Énfasis: u sar tablas de variación para resolver problemas de variación directa e identificar cuando haya variación directa o no.

¿Qué vamos a aprender? Continuaremos con tema anterior, en donde resolviste diversas situaciones que involucraron a la proporcionalidad directa. Analizarás un problema, desde la concentración de los datos de éste, en una tabla; para determinar cuándo hay variación proporcional directa y cuándo no. ¿Qué hacemos? Probablemente durante este periodo de contingencia, has estado ayudando en tu hogar con algunas labores.

A continuación, plantearemos un problema con una de las tareas del hogar: la cocina. Vamos a preparar un pay, para ello tenemos un recetario, en él se mencionan los ingredientes necesarios para hacer un pay para 10 personas; sin embargo, sólo hay 5 personas en el hogar.

Diferentes mezclas

https://www.youtube.com/watch?v=DYlP7b8v6c0&feature=youtu.be Como notaste, es necesario conservar la relación entre la cantidad de cada ingrediente que se va a utilizar y el número de porciones, o personas, para las cuales está contemplada la receta, pero si el número de porciones o personas es diferente, será necesario ajustar la cantidad de cada ingrediente, de manera que se mantenga la misma proporción que en la receta original.

Regresando al problema inicial, tendríamos que ajustar en la misma proporción, en este caso, es a la mitad. Pero ¿qué significa conservar la proporción entre las cantidades?, ¿cómo se identifica? Para dar respuesta a estas preguntas, te proponemos analizar algunas situaciones similares a la anterior, que están presentes en nuestro contexto.

Iniciaremos planteando una situación que ocurre cada inicio de ciclo escolar. Siempre acudes a las papelerías a comprar los materiales que utilizarás en la escuela. ¿Cierto? Pues, en la papelería “El lapicito”, se encuentra la siguiente tabla de precios: En esta tabla puedes darte cuenta de que al comprar un cuaderno se pagan 12 pesos, por dos cuadernos se pagan 24 pesos, por tres cuadernos se pagan 36 pesos y por cinco cuadernos, 60 pesos. Lo que significa que la tabla permite establecer la relación entre la cantidad de cuadernos y su precio en pesos.

Determinemos si existe una variación directamente proporcional entre estas cantidades. La variación directamente proporcional indica que al aumentar o disminuir una de las dos magnitudes, la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción. En dicha tabla, la primera magnitud corresponde a la cantidad de cuadernos y la segunda magnitud corresponde a su precio en pesos.

Por lo tanto, podemos establecer una relación entre ambas magnitudes de nuestra tabla para determinar si su comportamiento presenta una variación proporcional directa o no. Es decir: si la cantidad de cuadernos aumenta, el precio debe aumentar en la misma proporción. Recuerda que la razón es la relación entre dos cantidades, y que pueden ser de la misma naturaleza o no. En este caso, no son de la misma naturaleza. Observa que al obtener los cocientes 12 entre 1, 24 entre 2, 36 entre 3, y 60 entre 5. Se obtiene el mismo número, en este caso 12.

Por lo tanto, al relacionar ambas magnitudes de la tabla obtenemos el mismo cociente. Esto se interpreta como: si compras dos cuadernos el precio se duplica, es decir se pagan 24 pesos, si compras tres cuadernos, el precio se triplicará con respecto al costo de un cuaderno, y así sucesivamente. Entonces, en esta tabla hay una variación directamente proporcional, porque el precio aumenta de manera directamente proporcional al número de cuadernos que se compran.

En los ejemplos anteriores, observaste que los datos de las situaciones planteadas se organizaron en tablas para realizar una comparación entre ellos, esto permitió generar un análisis para determinar si existe una variación directamente proporcional.

Es decir, si una cantidad aumenta la otra también aumentará en la misma proporción. Entonces, si en una tabla hay dos magnitudes relacionadas entre sí, y una de ellas aumenta y la otra también aumenta en la misma proporción, ¿podemos afirmar que, se establece una variación directamente proporcional? Para responder a esta pregunta analiza la siguiente situación: Los alumnos de una escuela comentaron que el día del Amor y la Amistad, en el mercado de plantas, encontraron un comercio en donde se venden ramos de flores, y los costos de estos tienen variaciones.

En la siguiente tabla se muestran las cantidades. Con estos datos, ¿se podrá afirmar que existe una variación directamente proporcional entre el número de ramos que se compran con su precio? Así como lo hiciste anteriormente, establece una relación entre el número de ramos y su precio correspondiente, para determinar si en su comportamiento hay una variación directamente proporcional o no. Observa que al obtener los cocientes: 24 entre 1, 40 entre 2 y 69 entre 3, se obtienen los resultados 24, 20 y 23 respectivamente, los cuales son diferentes. Entonces, al relacionar ambas cantidades en la tabla no obtenemos el mismo cociente, lo que nos indica que no hay una constante de proporcionalidad.

• En consecuencia, no es proporcional el número de ramos con el precio total que oferta el vendedor, con esto establecemos que ambas cantidades aumentan, pero, no hay una variación directamente proporcional.
• Para que haya una variación directamente proporcional, al comprar el doble de ramos se debería pagar el doble de su precio, es decir $48; pero en este caso no sucede así, ya que la florería vende dos ramos en $40.

Al hacer una oferta y disminuir el costo de los ramos, por mayoreo, eso rompe con la proporcionalidad, ¿te diste cuenta? Esto sucede, para esta situación, porque la mayoría de los comerciantes en nuestro país, para atraer a clientes y vender más, ofertan sus productos a un menor precio dependiendo de la cantidad de productos adquiridos.

1. Es decir, hacen una disminución en el precio final por la compra de mayor volumen del mismo producto.
2. En los ejemplos anteriores realizamos la comparación de datos concentrados en registros tabulares o tablas de datos.
3. Esto es un buen apoyo para organizar datos y con ello resolver problemas que se presentan en nuestro contexto.

Utilizaremos otra situación, para señalar la importancia del uso de las tablas de datos, en estos procedimientos. Por ejemplo: Imagina que quieres comprar una motocicleta para recorrer algunos de los hermosos paisajes que tiene nuestro país. En días pasados encontraste algunas ofertas en internet, sobre el precio de un par de motocicletas, así como la información de su rendimiento. ¿Cuál motocicleta comprarías y por qué? Para ello, determinemos las características de los datos que se han registrado en cada tabla, ya que esto nos puede ayudar a determinar cuál de las dos comprar. De acuerdo con los datos en la tabla del modelo “Viento”, las dos magnitudes aumentan, tanto los litros como los kilómetros, pero ¿su variación será directamente proporcional? Es decir, ¿hay una relación de proporcionalidad entre la cantidad de litros de gasolina con la cantidad de kilómetros que se pueden recorrer? En este caso, también, podemos establecer una relación entre ambas magnitudes de nuestra tabla, para determinar si su comportamiento es o no una variación directamente proporcional. Analizando las razones internas para determinar si hay proporcionalidad directa, observamos que 4 es el doble de 2, pero 180 no es el doble de 94, por lo que la variación no es de proporcionalidad directa, ya que, aunque ambas cantidades aumentan, no lo hacen en la misma proporción. Ahora, observamos que el rendimiento fue el mismo, el cual corresponde a la constante de proporcionalidad. Después de realizar el planteamiento anterior, ¿será la única forma de comprobar que, en una tabla, donde se concentran los datos de un problema, existe una variación directamente proporcional? Para responder a la pregunta, te proponemos realizar un análisis siguiendo otro camino. Con esta comparación nos damos cuenta de que es una variación directamente proporcional, puesto que la equivalencia de ambas sumas corresponde al rendimiento por 7 litros. Utilizando la información que hemos analizado, concluimos que es conveniente comprar el modelo “Águila”, porque podemos recorrer los mismos kilómetros por cada litro de gasolina y a su vez, esto nos permite saber, con certeza, el gasto de combustible en distancias determinadas.

• Ahora supongamos que no conocemos la constante de proporcionalidad, pero que sabemos que la distancia que recorre la motocicleta es directamente proporcional a los litros que consume, a partir de esto, podemos obtener el rendimiento para cualquier cantidad de litros de gasolina.
• Por ejemplo, calculemos el rendimiento para 5 litros.

Como ya sabemos, tanto los litros como la distancia recorrida en km, aumentan en la misma proporción, existiendo una variación directamente proporcional. Partiendo de la información anterior, usamos las razones internas: De esta forma hemos determinado otra manera de comprobar si en los datos concentrados en una tabla existe una variación directa, sumando término a término dos datos de la misma magnitud y sus dos correspondientes, pero recuerda que este procedimiento podrá efectuarse cuando hay relación entre los valores involucrados. ¿Cómo podríamos calcular el costo por los 80 metros? En un primer momento, al observar la tabla nos damos cuenta de que tanto los metros como el precio aumentan, ahora verifiquemos si su variación es directamente proporcional: Aplicando lo que has aprendido anteriormente, se puede comprobar de dos maneras:

obteniendo el cociente de las magnitudes correspondientes para verificar si existe una constante de proporcionalidad. O, realizando la suma de término a término.

Hagamos el procedimiento con los cocientes de las magnitudes para determinar la constante de proporcionalidad: Los cocientes que se encontraron son los mismos, por lo que sí hay una constante de proporcionalidad, en este caso 20. De tal modo que ahora podemos determinar este costo al encontrar el producto de 80 por la constante de proporcionalidad: Analicemos qué otra característica podemos encontrar en los datos concentrados en la tabla anterior; para ello tomemos dos parejas de datos, y sus correspondientes, para comprobar que son equivalentes se multiplica de la siguiente manera: ¿Te diste cuenta de que, al multiplicar las magnitudes correspondientes de manera cruzada, el producto es el mismo en cada pareja de datos? Si sucede lo anterior, tendremos un elemento más para afirmar que los datos que se encuentran en la tabla son proporcionales, ya que mantienen una relación de variación directamente proporcional. En esta tabla, estamos relacionando 4 cantidades. Al obtener productos iguales, se observa que una de las magnitudes cambia y la otra también se modifica en la misma proporción. Esto quiere decir que cuando las razones de una variación directa son equivalentes al multiplicar de manera cruzada, los productos deben ser iguales para poder afirmar que existe una variación directamente proporcional.

De acuerdo con todo lo que viste en esta lección podemos concluir que: Existe una relación de variación directamente proporcional cuando dos cantidades se relacionan de tal manera que, si una aumenta o se reduce, la otra también lo hace en la misma proporción; por ejemplo, si una se duplica o se triplica, la otra también, y si una se reduce a la mitad o a la tercera parte, sucede lo mismo con la otra.

Los valores de ambas magnitudes tienen una relación constante que llamamos: constante de proporcionalidad. Así mismo, lograste identificar tres formas de determinar si hay o no variación directamente proporcional en los datos concentrados en una tabla:

Calculando la constante de proporcionalidad. Usando las razones internas. Y por medio de razones equivalentes.

Te invitamos a buscar en tu libro de texto el aprendizaje esperado que has estado trabajando en esta lección; en el libro podrás identificar la siguiente información: Lo que has aprendido en esta lección, puedes aplicarlo en muchos casos, por ejemplo, para calcular lo que deben cobrar los empleados de una empresa por un número de días trabajados o por un determinado número de horas de trabajo. Analicemos la información que se presenta en la siguiente tabla, donde se muestran los días trabajados de un empleado de una empresa equis, y su salario correspondiente, sabiendo que el pago por día de trabajo siempre es el mismo. Observa que en la primera fila tenemos los días laborados, que son 2, 6, 8 y 14 días respectivamente. Mientras que en la segunda fila tenemos el salario, en pesos mexicanos, por día de trabajo. Basándonos en la información anterior, ¿qué debemos hacer para ayudar al empleado a determinar cuánto debe cobrar por 8 días de trabajo? Para encontrar la constante de proporcionalidad, podemos dividir 750 entre 6 o 1750 entre 14, como hay una relación de proporcionalidad directa, sabemos que en ambas divisiones se obtiene el mismo valor, como puedes ver: Ya que se obtiene una constante de proporcionalidad, la cual nos indica que por cada día laborado, el empleado cobra 125 pesos. Utilicemos dicha constante para dar respuesta al planteamiento anterior y calculemos el producto de 125 por los 8 días trabajados. El r eto de h oy: En esta tabla aún falta determinar ¿Cuánto debe cobrar el empleado por 2 días trabajados? Y, si le pagan $500, ¿cuántos días trabajó? Te retamos a encontrar estos valores faltantes, utilizando cualquiera de las formas o procedimientos que estudiaste en esta lección: El uso de razones, internas, la constante de proporcionalidad o mediante razones equivalentes. También puedes pedir ayuda y retroalimentación a distancia de tus maestras o maestros cuando sea posible. ¡Buen trabajo! Gracias por tu esfuerzo.

¿Qué es la tasa de variación de una función?

La tasa de variación de una función es el aumento o disminución que experimenta una función al pasar la variable independiente de un valor a otro.

¿Cómo se calcula la variación lineal?

Variación lineal Variación lineal Aprendizaje esperado : analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

• Énfasis : resolver problemas que impliquen variación lineal.
• ¿Qué vamos a aprender?
• Durante el desarrollo del tema se dará continuidad al aprendizaje esperado: “Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de su representación tabular, gráfica y algebraica”.
• ¿Qué hacemos?

Ya has aprendido a identificar la constante de variación de una situación a partir de los datos concentrados en una tabla, A simismo, ha s identificado relaciones que involucran dos variables, una variable independiente, la cual se representa con la literal “x”, y una variable dependiente, que se representa con la literal “y”.

1. Esto te permitió hacer una representación algebraica de dichas relaciones, para poder encontrar los valores faltantes.
2. También has estudiado la representación de una variación lineal mediante su respectiva gráfica en el plano cartesiano, en donde determinaste la razón de cambio.
3. Por ejemplo: al comprar gasolina para un automóvil, las personas buscan una gasolinería en donde el combustible sea más barato.
4. Tal es el caso de Eduardo y Raquel; ellos cargan gasolina en dos establecimientos distintos.
5. Eduardo cargó gasolina varias veces en la gasolinería “Norte”: la primera vez cargó 20 litros y pagó 370 pesos; la segunda vez cargó 15 litros y pagó 277 pesos con 50 centavos; y la tercera vez cargó 30 litros y pagó 555 pesos; estos datos se observan en la siguiente gráfica.
6. 
7. Por otro lado, Raquel carga gasolina en la gasolinería “Sur”: la primera ocasión cargó 10 litros y pagó 215 pesos; la segunda vez cargó 22 litros y pagó 473 pesos; y la tercera vez cargó 27 litros y pagó 580 pesos con 50 centavos.
8. 

• ¿Qué coincidencias observas en ambas gráficas?
• ¿El precio de la gasolina en cada caso, varió o siempre fue el mismo?
• ¿Cómo lo sabes?
• ¿Cuánto cuesta el litro de gasolina en la gasolinería “Norte”?
• ¿Cuánto cuesta el litro de gasolina en la gasolinería “Sur”?

Para ir dando respuesta a las preguntas anteriores. Observa que, en cada gráfica, al unir los puntos que representan las diferentes cargas de gasolina, se forma una línea recta, que pasa por el origen del plano cartesiano; por lo que, de acuerdo con lo estudiado anteriormente, dichas gráficas corresponden a una variación directamente proporcional, lo que significa que el precio de gasolina, en cada caso, siempre fue el mismo.

• 
• Por lo tanto, una estrategia que puedes seguir para determinar el precio por litro en cada una de las gasolinerías es calcular la razón de cambio de cada gráfica.
• Puedes concentrar en dos tablas la información de cada una de las cargas de gasolina para encontrar la constante de variación.
• Se empezará analizando la gráfica de la gasolinería “Norte”.
• Como bien sabes, en una variación de proporcionalidad directa hay dos magnitudes que se relacionan entre sí; en este caso, la variable independiente corresponde a la cantidad de litros de gasolina que se compran, la cual se representa con la literal “x”; y la variable dependiente corresponde al costo a pagar, y se representa con la literal “y”.
• Relacionando estas magnitudes, puedes construir la tabla de variación correspondiente, a partir de los datos de la gráfica.

De acuerdo con los datos de la gráfica, se generó una tabla de valores con las cargas de Eduardo, donde se relacionan los litros de gasolina “x”, los cuales son 15, 20, 30; y el costo “y”, representado en pesos, con 277.50, 370 y 555, respectivamente.90 Una forma para determinar la constante de variación directa “k” es obteniendo el cociente de cualquier pareja de valores, dividiendo la variable dependiente entre la variable independiente. Esto es: k igual a “y” entre “x”. Para la primera pareja de magnitudes es 277.50 entre 15, igual a 18.50; 370 entre 20 igual a 18.50; y 555 entre 30 igual a 18.50. Esta constante de proporcionalidad directa determina el valor unitario de la gasolina, es decir el costo de un litro de gasolina, que en el caso de la gasolinería Norte es de 18 pesos con 50 centavos, por litro. Con la constante de proporcionalidad se puede determinar el costo de la gasolina para cualquier cantidad de litros comprados.

1. Como se observa, para calcular el costo “y” de una cantidad determinada de litros de gasolina se multiplica el valor de la constante “k” por los litros de gasolina “x”, resultando la expresión algebraica de la forma:
2. “y” igual a “k” por “x”
3. Donde ” y ” es el costo a pagar de la gasolina, ” k ” es la constante de proporcionalidad (es decir, costo por litro de gasolina) y “x” los litros de gasolina. Por lo tanto, la expresión algebraica que representa esta función es:
4. y = 18.50x
5. 
6. Ahora, analiza el caso de la gasolinería sur.
7. Como ya viste, puedes calcular el costo por cada litro de gasolina y determinar una expresión algebraica para conocer el costo a pagar para cualquier cantidad de litros a comprar.

De acuerdo con los datos representados en el plano cartesiano, se elabora una tabla de datos, en donde se relaciona la cantidad de gasolina “x”; siendo esta de 10, 22 y 27 litros; y el costo “y” representado en pesos: 215, 473 y 580.50, respectivamente. En este caso, para determinar la constante de variación “k”, se sigue el mismo procedimiento: obtienes el cociente de la división de la variable dependiente entre la variable independiente, para cada pareja de datos que se relacionan. Esto es: k igual a “y” entre “x”, que en el primer caso es, 215 entre 10 igual a 21.50; después, 473 entre 22 también es 21.50; y para el tercer par de datos, 580.50 entre 27, sucede lo mismo, el resultado es 21.50.

• 
• Con el valor de dicha constante puedes formular una expresión algebraica que te permita determinar el costo de la gasolina para cualquier cantidad de litros que se quiera comprar.
• Como k es igual a 21.50, y la expresión general de una relación de proporcionalidad directa es igual a k por “x”, entonces en este caso, la expresión algebraica de la función es:
• y = 21.50x
• En la que “x” representa los litros a comprar de gasolina, y “y” la cantidad en pesos a pagar.
• 

Has logrado determinar dos expresiones algebraicas que te permiten calcular el total que Eduardo y Raquel deben de pagar por cualquier carga de gasolina, ya sea en la gasolinería Norte o Sur. En ambas expresiones está representada una constante de proporcionalidad, la cual se refiere precisamente al costo por litro en cada uno de los establecimientos mencionados.

1. Ahora bien, ya has estudiado la representación de funciones de variación lineal de la forma y = kx, en el plano cartesiano, en donde lograste ubicar coordenadas y con ello determinaste la razón de cambio, que en este caso es igual a la constante de proporcionalidad k, puesto que la gráfica pasa por el origen, permitiéndote con esto, hacer un análisis del comportamiento de la recta; y así predecir información de lo que se está modelando para tomar una decisión.
2. Analiza otro ejemplo, para fortalecer esta idea que te permite, mediante una gráfica, determinar la razón de cambio, y con ello modelar una función lineal, o de primer grado, que represente la situación.
3. En estos tiempos en que la telefonía es tan importante puedes utilizar lo estudiado durante esta sesión para aplicarlo en el análisis de planes tarifarios, en formato de prepago, de cierta compañía telefónica.

En el plano cartesiano que se muestra, se observa la gráfica de los planes de prepago de dos empresas telefónicas. Ambos planes tienen el mismo costo inicial, que incluye cierta cantidad de megabytes, y conforme aumenta el costo del plan, el número de megabytes se incrementa.

• 
• Los planes de la compañía telefónica “KANBAN-CEL” se representaron con una recta de color verde, la cual se formó con la información de los planes en los que se pagan, 20, 40, 60 y 80 pesos, adicionales, y cada uno incluye 60, 100, 140 y 180 megabytes, respectivamente.
• Del mismo modo con los planes de prepago de la compañía “KaizenCell”, se formó la recta con la información de los planes que ofrece: 50, 60, 70 y 80 pesos adicionales, que incluyen 150, 160, 170 y 180 megabytes, respectivamente.
• Al representar esta información en el plano cartesiano mediante gráficas puedes hacer un análisis del comportamiento de los planes de prepago que ofrecen las dos compañías.
• De este modo, puedes tomar una decisión y escoger el plan óptimo.
• Por ello, se plantean las siguientes preguntas:

• ¿Qué compañía ofrece más megabytes por cada peso adicional?
• ¿Cómo puedes saberlo?

1. Para responder las preguntas anteriores, puedes obtener la razón de cambio en cada una de las compañías para determinar cuál ofrece más megabytes, según el costo adicional del plan.
2. Para obtener la razón de cambio, a diferencia de las relaciones de variación proporcional, en estos casos, se seleccionan dos puntos con sus respectivas coordenadas, de una misma recta, y se obtiene el cociente de la diferencia de las dos coordenadas que corresponden a las ordenadas, entre la diferencia de las dos coordenadas que corresponden a las abscisas.
3. En este caso, las coordenadas que corresponden a las abscisas representan los valores de la variable independiente “x”, siendo ésta el costo adicional de acuerdo al plan que se contrata.
4. Asimismo, las coordenadas que corresponden a las ordenadas representan los valores de la variable dependiente “y”; es decir, los megas contratados para navegar de acuerdo con lo que se paga en el contrato.

Las coordenadas de un punto se representan escribiendo, entre paréntesis, primero la variable independiente “x” y después la variable dependiente “y”, separadas por una coma. A esta manera de describir un punto en el plano cartesiano se le conoce como “par ordenado”.

La razón de cambio se puede obtener a partir de dos puntos o coordenadas, que pertenecen a una misma recta. Para establecer la razón de cambio de la compañía telefónica “KANBAN-CEL”, se seleccionan un par de coordenadas sobre la recta verde, esto es (20, 60) y (40, 100), y se calcula la razón de cambio usando estas dos coordenadas.

Con respecto a los valores de “y”, el valor absoluto de su diferencia es 40; y en lo que se refiere a los valores de “x”, el valor absoluto de su diferencia es de 20, por lo tanto, para obtener la razón de cambio se dividen estas diferencias. Es decir, la diferencia de “y” entre la diferencia de “x”.

• Esto significa que por cada peso adicional se obtienen 2 megabytes en el plan de prepago.
• Para validar que esta razón se cumple para cualquier par de coordenadas que se elijan, se seleccionan otro par de puntos sobre la misma recta, cuyas coordenadas son (60,140) y (80,180).
• Con respecto a los valores de “y”, el valor absoluto de su diferencia es 40, y en lo que se refiere a los valores de “x”, el valor absoluto de su diferencia es de 20; por lo tanto, la razón de cambio es igual a: 40 entre 20 igual a 2.
• Como puedes observar, la razón de cambio tiene el mismo valor, que corresponde a la variación lineal que hay entre los megabytes que se reciben respecto al costo adicional de los planes que ofrece la compañía KANBAN-CEL.
• Ahora, se utilizará la razón de cambio obtenida para formular una expresión algebraica que represente la relación de la función costo-megabytes en esta compañía y que permita calcular los megabytes que se adquirirán por cierta cantidad de dinero adicional.
• Observa que la recta de color verde, que corresponde a la compañía KANBAN-CEL, no pasa por el origen, lo cual te indica que presenta una condición inicial que corresponde con el punto de intersección de la recta con el eje de las ordenadas “y”.
• Habiendo hecho la anterior aclaración, y como pudiste ver antes, la relación lineal que representa la función costo-megabytes es de la forma y = mx + b ; en la que b corresponde al punto donde la recta interseca al eje “y” y “m” es una constante, en este caso, la razón de cambio.
• De acuerdo a lo analizado, para encontrar el valor de b se modela la siguiente ecuación lineal o de primer grado:
• 2(20) + b = 60
• Para despejar b y obtener su valor, se multiplica 2 por 20, quedando la ecuación como:
• 40 + b = 60
• Después, restas 40 en ambos lados de la igualdad, obteniendo así: “b” igual a 20.
• Puedes ver en la gráfica que el punto donde la recta interseca al eje y es en la coordenada (0, 20).
• Finalmente, considerando dos elementos, la razón de cambio “m” que es igual a 2 y la intersección donde la recta se cruza con el eje de las ordenadas “y” que es 20, ya se puede establecer la expresión algebraica de esta función.
• ¿Tú ya la tienes?
• Bien, ahora hay que validarla.
• Con esta información puedes establecer la expresión algebraica que modela la función de la forma:
• y = mx+b
• En esta expresión:

• “y” es la variable dependiente, que representa a los megabytes.
• “m” es la razón del cambio.
• “x” es la variable independiente, y representa el costo.
• y “b” se establece como “punto de intersección con el eje de las ordenadas”.

1. Entonces se tiene que, si “m” es igual a 2, y “b” es igual a 20, se sustituyen dichos valores en la expresión general y se obtiene la expresión que modela la función de la empresa telefónica KANBAN-CEL, que es:
2. y=2x+20
3. Ahora se calcula la razón de cambio de la recta de color rojo, que representa a la compañía “KaizenCell”, para establecer la expresión algebraica de esta función.
4. Se selecciona un par de coordenadas sobre dicha recta, esto es: (70,170) y (80,180), para establecer la razón de cambio.

Con respecto a los valores de “y”, el valor absoluto de su diferencia es 10, y en el caso que se refiere a los valores de “x”, el valor absoluto de su diferencia también es de 10. Y para obtener la razón de cambio “m” se divide 10 entre 10, obteniendo 1.

Esto significa que por cada peso adicional se obtiene un megabyte. Estableciendo la expresión algebraica de esta función, de igual forma que en el análisis anterior, para determinar el valor de b: se multiplica la razón de cambio 1 por los 70 pesos del paquete y se le suma “b”, lo que es igual a 170 megas.

Al resolver, puedes ver que “b” es igual a 100, que es el punto donde la recta roja corta al eje “y”.

• Si sustituyes en la expresión general el valor “m”, que es igual a 1, y el valor de “b” que es igual a 100, se llega a la función lineal o de primer grado:
• y=1x+100
• La cual representa el comportamiento de la recta que modela el plan de prepago ofertado por la empresa “KaizenCell”.
• Si te das cuenta, la recta de color rojo, que representa a la empresa KaizenCell, tiene una razón de cambio igual a 1; por ello, está menos inclinada que la recta que representa a la compañía KANBAN-CEL, la cual tiene una razón de cambio igual a 2.
• Precisamente por esta diferencia en la inclinación hay un punto en la coordenada (80,180) en el que las dos rectas se cruzan; éste indica que los dos planes en este punto comparten un mismo costo y la misma cantidad de megabytes.
• Por lo que, una recta con mayor razón de cambio tiene mayor inclinación respecto al eje de las abscisas.
• El análisis anterior permite concluir que en la empresa KaizenCell no es conveniente adquirir un paquete que cueste más de 80 pesos adicionales, porque a partir de dicho costo, KANBAN-CEL es más competitiva, ya que ofrece más megas por menos dinero, sólo que para ello se debe de pagar más de 80 pesos adicionales.
• A partir de la información que se representó en el plano cartesiano de ambas compañías telefónicas se ha calculado su respectiva razón de cambio; asimismo, se ha determinado una ecuación lineal, o de primer grado, que modela algebraicamente la relación costo-megabytes que ofrece cada compañía en cada uno de sus paquetes.

De acuerdo con las funciones lineales que se obtuvieron para calcular los megabytes con los paquetes que ofrecen las dos compañías, respectivamente, se propone una actividad. Responde: ¿Cuántos megabytes te daría cada una de las compañías por 150 pesos adicionales a cada plan?

1. Ahora bien, del mismo modo que lo hiciste con las compañías telefónicas, puedes representar en un solo plano cartesiano las gráficas de las gasolinerías Norte y Sur, que modelan el costo de la carga para determinada cantidad de litros de gasolina.
2. Si observas con atención en la siguiente gráfica, la recta de color azul que corresponde a la gasolinería Norte está menos inclinada con respecto al eje de las abscisas, en relación con la recta de color verde, que corresponde a la gasolinería Sur; esto debido a que la razón de cambio en la gasolinería Norte es menor, es decir, la gasolina tiene un menor costo, como viste antes.
3. Como viste durante el desarrollo de esta sesión se ha dado respuesta a cada una de las situaciones que planteadas.
4. El costo por litro en cada una de las gasolineras, mediante su representación en el plano cartesiano, a partir de datos concentrados en una tabla, en la cual se obtuvo la constante de proporcionalidad para cada estación de servicio, con ello se construyó una expresión algebraica que permitió calcular el costo a pagar para cualquier cantidad de litros de gasolina, en cada uno de los establecimientos, al igual que los planes telefónicos.
5. Bien, has terminado ele tema del día de hoy.
6. El r eto de h oy :
7. Revisa en tu libro de texto el tema que has estado estudiando durante esta sesión; en él podrás encontrar situaciones similares a las que has resuelto.
8. Por ejemplo:
9. Determinar la cantidad de sangre que bombea el corazón de una persona cada minuto, a partir de la representación tabular y gráfica.
10. O, realizar un experimento en el laboratorio de física, en donde se pueda observar, mediante una gráfica en el plano cartesiano, cómo se alarga un resorte dependiendo del peso que se le vaya colgando, y con ello determinar una función lineal que modele dicha situación.
11. O, para determinar las metas de ventas que una empresa o negocio deben alcanzar para cubrir sus costos de producción, y ubicar, a partir de qué punto en su respectiva gráfica, se obtienen ganancias.
12. Asimismo, realiza la actividad en la que se te propone saber ¿Cuántos megabytes te daría cada una de las compañías por 150 pesos adicionales a cada plan?
13. ¡Buen trabajo!
14. Gracias por tu esfuerzo.

: Variación lineal

¿Qué es una variación directa e inversa?

En una variación directa, un factor aumenta a medida que el otro factor lo hace también.12. En una variación inversa, un factor aumenta pero el otro factor disminuye.

¿Qué es variación en matemáticas ejemplos?

La variación, en el ámbito de las matemáticas, es cada una de las posibles tuplas que se pueden constituir a partir de un grupo de elementos. Es decir, se denomina variación a cada una de las posibles agrupaciones que se pueden formar con los elementos de un determinado conjunto, por ejemplo, de números u objetos.

¿Qué es una tabla de valor posicional?

Una tabla de valor posicional es un gráfico que muestra cómo los números se dividen en la posición de uni- dades (o los unos), el lugar de decenas, el lugar de centenas, y así sucesivamente. Las tablas pueden ayudar con la suma y la resta.

¿Qué es la variación lineal?

Variación lineal y su representación tabular Variación lineal y su representación tabular Aprendizaje esperado: analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación,

• Énfasis: a nalizar y comparar la variación lineal de una situación problemática a partir de su representación tabular.
• ¿Qué vamos a aprender?
• Estudiarás el significado de la variación lineal de una situación problemática mediante el análisis de los datos identificados en ella, concentrados en una tabla.
• ¿Qué hacemos?
• Para comenzar reflexiona sobre las siguientes preguntas:
• Alguna vez te has preguntado si existe una relación entre

• ¿ el tiempo y el porcentaje de carga de un celular?
• ¿ la relación entre el tiempo y los litros de agua vertidos en un tinaco vacío?
• ¿ la relación del tiempo de llenado de un depósito de agua con cierto volumen inicial y la capacidad de bombeo?
• ¿ el costo en relación con los días de renta de un automóvil, con un depósito inicial?

Reflexiona en torno a estas preguntas para comprender mejor la relación que las magnitudes implicadas guardan entre sí. Dicha relación se puede representar y analizar en tablas. Esto es algo que ya has hecho cuando calculas la variación entre dos magnitudes distintas.

1. Analicemos la siguiente situación:
2. El tinaco de una casa tiene capacidad de 1 200 litros; el manual de la bomba de agua dice que se vierten 80 litros por cada minuto, ¿cuánto tiempo tardaría en llenarse el tinaco?
3. Analicemos en una tabla los datos, comparando los minutos transcurridos y los litros de agua que se depositan en el tinaco.

En la primera columna tenemos el tiempo en minutos, los cuales son 1, 2, 3, 5, y escribimos “x”, que representa el tiempo de llenado del tinaco, y que es el dato desconocido. En la segunda columna ubicamos la capacidad en litros, cuyos valores son 80, 160, 240, 400 y 1 200 litros.

• 
• En la tabla podemos relacionar los minutos transcurridos con la cantidad de litros vertidos en el tinaco, esto nos ayudará a calcular los minutos que deben transcurrir para que el tinaco se llene.
• Recuerda que en el manual se indica que la bomba vierte 80 litros por minuto, así que este valor es la constante de variación que, en este caso, también es de proporcionalidad, y queremos calcular los minutos que tardará en llenarse un tinaco de 1 200 litros.

Analicemos qué sucede al dividir los litros “y” que aparecen en la tabla, entre la constante de variación “k”. La constante de variación “k” es la constante de proporcionalidad.

1. Agregamos a la tabla anterior una tercera columna para analizar la relación entre las magnitudes de nuestro problema, para lo cual dividimos cada uno de los litros vertidos entre la constante de variación:
2. Observemos que, al realizar la división de cada uno de los datos que están en la segunda columna entre la constante de variación, se obtienen los minutos que se observan en la primera columna.
3. Por lo tanto, al obtener el cociente de 1 200 entre la constante de variación, que es 80, obtenemos los minutos que tardará en llenarse el tinaco, en este caso, 15 minutos, que es el valor faltante en nuestra tabla.
4. Esta constante de variación es importante para determinar cualquier valor desconocido de una u otra magnitud relacionada entre sí, conociendo una de ellas.
5. Para este caso, esta constante recibe el nombre de constante de variación o de proporcionalidad.
6. Ahora analicemos la siguiente situación:

El depósito de agua que se construyó en una población, tiene un volumen de 24 000 litros de capacidad para abastecer a todos los hogares. El gobierno de la localidad les donó una bomba con una capacidad de abastecimiento de 1 100 litros por minuto y le instalaron un sistema automático que se activa cuando el depósito baja a un nivel de 900 litros para que los pobladores no se queden sin agua en ningún momento. En esta tabla se especifican los minutos transcurridos, representados con “x” en la primera columna, los cuales son 0, 1, 2, 3, 6 y 15. Mientras que en la segunda columna se indica el volumen de agua, representada con “y”, que se vierte en el depósito, que son 900, 2 000, 3 100, 4 200 y 7 500 litros, y como observas en el último renglón, únicamente se indican los minutos que trabaja la bomba, pero falta el dato del volumen correspondiente a dicho tiempo, ¿cómo calcularías el volumen de agua que tendrá el depósito en esos 15 minutos? Para responder a esta pregunta, observa el siguiente video que plantea algo muy parecido a esta situación.

Gráficas de los movimientos

• Matemáticas 1, Bloque 2
• Del minuto: 0:22 a 0:55

De acuerdo con el video, y analizando los datos que se presentan en la tabla, se puede determinar el volumen en litros de agua que tendrá el depósito al transcurrir 15 minutos después de haberse activado el encendido automático de la bomba. Entonces, analicemos la tabla para determinar cómo se calculan los litros en relación con el tiempo transcurrido en minutos.

• Para esto, ya sabemos dos datos: los litros de bombeo por minuto, los cuales son 1 100, tomando en cuenta que ese bombeo siempre es el mismo, el cual representa la constante de variación, y que el encendido automático de la bomba se activa cuando quedan 900 litros en el depósito.
• Es importante considerar que, cuando el depósito tiene 900 litros de agua, la bomba se activa y ese breve instante se considera como el minuto 0.

Por lo que 1 100 litros los multiplicamos por el minuto 0 y al resultado le sumamos 900 para obtener los 900 litros iniciales. Transcurrido el primer minuto, la bomba ha mandado al depósito 1 100 litros, que es la constante de variación, por lo que escribimos 1 100 por 1 más los 900 litros que contenía inicialmente el depósito; da un total de 2 000 litros de agua. Observa que lo que está cambiando son los minutos y la cantidad de agua que llena el tinaco; es decir, son los únicos que presentan variación y tanto la constante de variación como los litros iniciales que contenía el depósito al instante de encender la bomba, son magnitudes fijas.

1. 15 X 1100 + 900 = 17400
2. Tomando en cuenta lo antes descrito, podemos determinar el total de litros en el depósito para cualquier minuto utilizando una expresión que generalizamos de la siguiente manera:
3. Te invitamos a buscar en tu libro de texto el aprendizaje esperado que has estado trabajando durante esta lección, encontrarás información complementaria como la siguiente:

“Cuando una cantidad depende o se relaciona con otra de manera proporcional, se dice que entre ellas se establece una variación directamente proporcional entre ambas cantidades. En dicha relación, las cantidades que cambian se llaman variables, y las cantidades que no cambian se denominan constantes.

• De acuerdo con la información que acabas de leer, en la situación anterior podemos identificar que el total de litros que tendrá el depósito dependerá del tiempo que esté encendida la bomba.
• 
• Por tal motivo, la variable dependiente son los litros resultantes en el depósito y la variable independiente son los minutos transcurridos.
• Asimismo, podemos identificar las magnitudes que son constantes; en este caso, la cantidad de litros que se vierte por cada minuto y los litros que inicialmente tiene el depósito.

En las dos situaciones anteriores hemos identificado la constante de variación proporcional, la cual se usa para calcular una de las dos variables que están relacionadas entre sí, aun cuando se tenga una condición inicial. Mientras que, en el primer caso, la constante de variación era la constante de proporcionalidad.

1. Aquí, en la Ciudad de México, una conocida agencia ofrece su servicio con un costo actual de $108 por día, más un pago único de $550 por el seguro de viaje.
2. Al contratar el servicio, la agencia incluye una tabla en donde se muestra lo que se debe pagar por la renta del automóvil por un determinado número de días.
3. Con esta información, respondamos a la pregunta: ¿cuánto pagaremos por el uso del automóvil durante 7 días?
4. Para ayudarnos a responder la pregunta anterior, analicemos la tabla en donde están concentrados algunos datos, y de esta manera podremos calcular el costo que se debe pagar por 7 días de renta.
5. 

Observa que en la primera fila tenemos los días que utilizaremos el automóvil, que son 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Mientras que en la segunda fila tenemos el costo que corresponde a los días que utilizaremos el servicio, es decir, 658, 766, 874, 982 y 1 090 pesos, respectivamente.

• De acuerdo con estos datos, ¿pudiste identificar las variables y las constantes?
• En este caso, el total que se debe pagar está relacionado con los días de renta, por lo tanto, el costo total depende de los días que rentamos el automóvil.
• 
• Entonces, podemos afirmar que la variable dependiente es el costo total y la variable independiente son los días de renta.

Por otro lado, en este problema hay dos datos que no cambian. El pago del seguro, que es de $550, corresponde a la cantidad o condición inicial, y el costo fijo de $108 por cada día que se renta el automóvil; este último hace variar el costo por los días rentados, razón por la cual se le llama constante de variación.

1. De acuerdo con lo establecido anteriormente, se puede calcular el costo para cualquier cantidad de días contratados en la renta de un automóvil mediante la siguiente expresión:
2. De esta manera, podemos responder la pregunta inicial: ¿cuánto pagaremos por el uso del automóvil durante 7 días?
3. Observa que en cada uno de los casos siempre hay dos magnitudes que se relacionan.
4. Si una de las magnitudes adquiere un valor que depende del valor de la otra, se le designa como variable dependiente, la cual podemos expresar mediante la letra “y”.
5. A la magnitud que no depende del valor de la otra se le conoce como variable independiente, la cual podemos expresar mediante la letra “x”.

Recuerda que en esta lección estas estudiando el significado de la variación lineal de una situación problemática mediante el análisis de los datos concentrados en una tabla. Observa que en el problema del tinaco la constante de variación es la misma que la constante de proporcionalidad, ya que no hay una condición inicial, puesto que partimos de 0.

En problemas donde sí hay una condición inicial, debemos considerarla para determinar la variación que existe entre los datos proporcionados. El problema que acabas de ver es un ejemplo de ello, en donde antes de comenzar a utilizar el auto, debe cubrirse una cierta cantidad por el seguro, por lo que no se parte de 0.

Considerando lo visto en esta lección, podemos decir que estos conceptos también los podemos aplicar en casa. Por ejemplo, la necesidad de utilizar con mayor frecuencia el celular debido al aislamiento voluntario por la contingencia sanitaria, por lo cual es necesario optimizar el tiempo de carga, es decir, medir el tiempo que tarda la pila del celular en cargar al 100%, y así no generar un consumo de electricidad innecesario.

Es recomendable no dejar que la batería se descargue totalmente para que dure más tiempo, por lo cual se debe poner a cargar el celular cuando aún tiene 15% de batería. Para poder conocer el tiempo que tarda en cargarse completamente la batería del celular, analicemos la siguiente tabla: En la primera columna se muestran los minutos transcurridos, que son 5, 9 y 15, mientras que en la segunda columna tenemos la carga, mostrada en porcentaje, que corresponde a 23.5, 30.3 y 40.5.

La carga está aumentando al igual que los minutos, y también la carga aumenta dependiendo de los minutos que esté administrando energía al celular. Por lo que podemos afirmar que el porcentaje de la carga varía dependiendo de los minutos, en consecuencia, el porcentaje de la carga es la variable dependiente, y la podemos representar con la letra “y”.

• Entonces, la otra cantidad que está variando son los minutos durante los cuales el celular recibe energía, por lo que los minutos son la variable independiente y la representaremos con la letra “x”. Como se muestra en la siguiente tabla:
• Para determinar la constante de variación analicemos las variables:

Consideremos dos pares de datos de la tabla y obtengamos su variación; por ejemplo, cuando han transcurrido 5 minutos, la carga marca 23.5%, y cuando han transcurrido 9 minutos, la batería marca 30.3%. Para determinar la constante de variación, encontremos la diferencia de sus variables: Para la variable de los minutos, restamos 9 menos 5 = 4.

Y para la variable del porcentaje de carga, restamos 30.3 menos 23.5 = 6.8. Finalmente dividimos el resultado de la variación de porcentaje de carga entre el resultado de la variación de los minutos. Es decir, dividimos 6.8 entre 4 = 1.7; esta es la constante de variación. Comprobemos en otro par de datos: Si han transcurrido 9 minutos, el porcentaje de carga es de 30.3.

Y al transcurrir 15 minutos el porcentaje de carga es de 40.5. Encontremos la variación entre magnitudes de la misma variable restando las dos seleccionadas. Para los minutos, que corresponden a la variable independiente, restamos 15 menos 9 = 6. En relación con el porcentaje de carga, que es la variable dependiente, restamos sus correspondientes valores 40.5 menos 30.3 = 10.2.

• Determinemos la constante dividiendo los dos resultados: 10.2 entre 6 = 1.7.
• Con lo anterior podemos concluir que existe una variación que es constante, cuyo valor es de 1.7, y de acuerdo con lo estudiado en esta lección, la llamamos constante de variación, la cual nos indica que la carga es constante minuto a minuto; esto es, que la carga se incrementa 1.7% por cada minuto.

Recuerda que, para este problema, existe una condición inicial, que es la carga de 15% que el teléfono tiene antes de comenzar a recibir energía. De acuerdo con la tabla, en el minuto 5 el teléfono registra una carga de 23.5%; este valor se obtiene de multiplicar la constante de variación 1.7 por el minuto 5, y al resultado se le suma la condición inicial de 15% de batería.

Para el minuto 9, la carga del teléfono es de 30.3%, que es resultado de multiplicar 1.7 por 9, más 15. Para el minuto 15, la carga del teléfono es de 40.5%, que es resultado de multiplicar 1.7 por 15, más 15. Por lo tanto, la condición para calcular el porcentaje de carga en el celular para cualquier minuto es multiplicar la constante de variación (1.7) por los minutos transcurridos, más la condición inicial 15.

Se obtiene así la siguiente expresión:

1. En un principio determinamos que los minutos son la variable independiente, a la cual llamamos “x”, y la carga, la variable dependiente, a la cual llamamos “y”. Entonces podemos escribir la expresión aritmética de tal forma que, en lugar de escribir minutos, escribimos “x”, y en lugar de escribir carga, escribimos “y”; queda de la siguiente manera:
2. y = (1.7) (x) + 15
3. Ahora ocuparemos esta última expresión para calcular el nivel de carga que tendrá el celular transcurridos 25 minutos.

Recuerda que, en este caso, el tiempo corresponde a la variable independiente “x”. A dicha variable podemos asignarle valores, puesto que la “y” depende directamente de ella. En dicha expresión sustituimos la variable independiente “x” por los minutos que han transcurrido, en este caso, 25.

1. Ahora resolvemos las operaciones resultantes tomando en cuenta la jerarquía de operaciones, es decir, el producto de 1.7 por 25 más 15, que da como resultado 57.5.
2. Este resultado nos indica que a los 25 minutos el celular registra una carga de 57.5%.
3. Realicemos otro cálculo para determinar la carga que tendrá la batería del celular después de estar conectado durante 38 minutos.

Para conocer la carga en el minuto 38, realicemos el procedimiento anterior: multiplicamos 1.7 por 38, al producto le sumamos 15, lo que nos da como resultado 79.6. En esta lección resolviste situaciones problemáticas concentrando los datos en tablas.

• La variable independiente. Recuerda que este valor no depende de otro.
• La variable dependiente, cuyo valor depende de otro.
• La constante de variación, en donde dicho valor es constante y representa la variación entre las magnitudes.

• En cada uno de los casos que analizaste, determinaste que dos variables se relacionan de tal manera que la variación de una magnitud respecto de la otra se le conoce como constante de variación, existiendo o no una condición inicial.
• Cuando las variables aumentan o disminuyen simultáneamente de manera constante, implica que existe una relación lineal entre ellas, lo que significa que es una variación lineal.
• Con los elementos que identificaste y el valor de la condición inicial, si está presente en el planteamiento del problema, se genera una expresión aritmética con la cual puedes calcular el valor de la variable dependiente, dando diferentes valores a la variable independiente.

En las situaciones que desarrollaste a lo largo de esta lección los datos de las variables que intervienen se encuentran relacionados entre sí. Sin embargo, no son las únicas circunstancias en las cuales puedes aplicar estos conceptos. Por ejemplo, los antropólogos pueden determinar la estatura de una persona con sólo medir el largo del fémur, ya que entre estas magnitudes existe una relación de variación lineal.

1. El r eto de h oy
2. Para este reto, retomaremos el último problema de la lección.
3. Este último resultado sigue siendo menor a 100, por lo que te retamos a encontrar el tiempo que tarda la batería del celular en cargar al 100%.
4. No olvides considerar que la máxima carga de batería es al 100% y, en ese momento, desconectar el celular para evitar un consumo innecesario de energía eléctrica.
5. ¡Buen trabajo!
6. Gracias por tu esfuerzo.
7. Para saber más.
8. Lectura

: Variación lineal y su representación tabular

¿Cómo se calcula la variación?

De manera específica, la variación porcentual representa la diferencia entre un valor pasado y uno presente en términos de un porcentaje del valor pasado. La ecuación a utilizar es (( V2  V1 ) /V1) × 100 en la cual V1 representa al valor pasado o inicial y V2 representa al valor presente o final.

¿Cómo calcular la variación anual en Excel?

En una celda en blanco de la hoja de cálculo, escribe = PROMEDIO y selecciona todas las celdas que contengan los datos que vas a analizar. Pulsa el botón ‘Intro’. Así hallarás la media de la variable de tus datos.

¿Qué es la tasa de variación anual?

Análisis de tendencias y variación anual e interanual de las precipitaciones (período: 1957-2006) en la cuenca del río Boconó, estado Trujillo, Venezuela Briceida Mora (1,2,4) [email protected] Víctor Reyes (1,3,4) vmreyes20[email protected] (1)Universidad Pedagógica Experimental Libertador.

2) Instituto Pedagógico de Caracas. (3) Instituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio, Extensión Paraguana. (4) Centro de Investigación “Estudios del Medio Físico Venezolano”. RESUMEN La investigación estudia las tendencias y variaciones anuales-interanuales de las precipitaciones en la cuenca del río Boconó, como un aporte a las poblaciones que se encuentran asentadas en sus cercanías, para la toma de decisiones que minimicen el impacto que los regímenes de lluvia acarrean cada año.

Metodológicamente se comprobó la Homogeneidad de los datos, aplicación del Modelo ARIMA (Box-Jenkins), la Prueba de Bondad de Ajuste (Kolmorogov-Smirnov), cálculo de Variaciones Anuales-Interanuales (VA-VIA) y pronósticos empleando una proyección ARIMA de cada estación.

• Los resultados permitieron concluir que el modelo ARIMA se encuentra representado por (000)(101).
• La VA por el incremento de las precipitaciones en relación con el año de referencia y descenso de los montos anuales a partir de los noventa.
• La VIA evidencia periodicidad de dos años para lluvias continuas y sequías leves.

Los pronósticos 2010-2015 manifiestan tendencia ascendente de las precipitaciones manteniéndose la estacionalidad. Palabras clave: Precipitaciones; análisis de tendencias; variación anual e interanual; pronóstico; estado Trujillo. Analysis of trends and annual and inter-annual variation of the rainfalls (period: 1957-2006) in the Boconó River basin,Trujillo State, Venezuela ABSTRACT This research study of trends and annual variations-interannual of rainfall in the basin of river Boconó, is a contribution to populations are seated in its vicinity, for decision-decisions that minimize the impact that the rainfall regimes carry each year.

1. Methodologically was checked Data homogeneity, application of the Model ARIMA (Box-Jenkins), the Test of Goodness of Adjustment (Kolmorogov-Smirnov), calculation of Annual Variations-Interannual (VA-VIA) and forecasts employing a projection ARIMA of each station.
2. The results concluded that the model ARIMA is located represented by (000) (101).

La VA by the increase of rainfall in relation with the reference year and descent of the annual amounts from nineties. La VIA evidence periodicity of two years to rains continuous and droughts mild. Los forecasts 2010-2015 manifest upward trend of rainfall maintaining the seasonality.

• Ey words: Rainfall, trend analysis, annual and interannual variation, forecasts, Trujillo State.
• Recibido en mayo de 2013 y publicado en septiembre 2013.
• INTRODUCCIÓN La preocupación por la variación climática y sus influencias en términos de las alteraciones en el régimen de las precipitaciones y otros parámetros, se ha venido incrementando, particularmente a partir de la década del 90, a raíz de la Conferencia de Cambio Climático en Kyoto, donde se expuso que las posibles relaciones entre el cambio climático y la variación, son y han sido objeto de numerosas discusiones científicas, debido a los problemas de confiabilidad estadística de los registros climáticos o a la ausencia de los mismos y la influencia de los estudios que de allí se deriven y la divulgación eficaz hacia las poblaciones.

En Venezuela, se han adaptado algunas de estas propuestas a nuestra realidad y se han reajustados los modelos que se aplican a nivel global. Existen entes gubernamentales que contribuyen y respaldan las diversas investigaciones, como el Ministerio del Poder Popular para el Ambiente, el Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología (INAMEH), entre otros; además de cooperación internacional de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO), la Organización Meteorológica Mundial (OMM), el Instituto Interamericano de Investigaciones sobre Cambio Climático (IAI) entre otros, con los que Venezuela mantiene amplia participación en aspectos relacionados con los recursos hídricos, aunque la relación existente no se limita a este aspecto únicamente, existe apertura sobre la temática de las manifestaciones de variabilidad climática y sus influencias sobre el territorio; todo lo cual resulta de vital importancia en el escenario de incertidumbre con el que algunas veces coexisten las poblaciones.

Los estudios oportunos no serán aquellos que postulen posibles soluciones sino aquellos que en sí mismos, sean la base para implementar una cultura de prevención de los desastres; los estudios en Venezuela han llegado a una indiscutible conclusión sobre la influencia de los fenómenos climáticos en nuestra realidad temporo-espacial, con una marcada diferencia del clima local según los factores modificadores que inciden (relieve, orografía, continentalidad, marítimidad), por tanto, se hace necesario estudios puntuales, que aunque en dimensiones espaciales no parezcan significativos, permitan la configuración de las bases hacia la predisposición general del estudio bajo una concepción eficiente y oportuna a escala local y/o regional.

Bajo estas consideraciones fue propósito de la investigación analizar las tendencias y la variación anual e interanual de las precipitaciones en la cuenca (alta y media) del río Boconó, cuenca ubicada en la región de Los Andes al occidente de Venezuela.

La cual se encuentra emplazada en un relieve montañoso, además de caracterizarse por ser un área con pendientes abruptas; por esta razón el Ministerio del Ambiente y los Recursos Naturales (1994), considera que se deben promover estudios sobre la planificación y programación necesaria para determinar, implementar y revisar las directrices orientadas al mejor aprovechamiento de la zona y sus recursos.

Entender los patrones de distribución espacial y temporal de las precipitaciones, es importante para definir el régimen dominante y las medidas de mitigación del riesgo que los organismos gubernamentales pueden considerar a fin del beneficio de las comunidades adyacentes.

1. El área de estudio está constituida por la cuenca (alta y media) del río Boconó, la cual forma parte de la región de Los Andes, geopolíticamente el área se circunscribe a la jurisdicción del municipio Boconó.
2. Su localización geoastronómica está definida por las coordenadas 08º57’24” y 09º31’40” de Latitud Norte y 70º04’37” y 70º36’15”de Longitud Oeste (ver figura 1 ).

Graterol (2000) señala que la cuenca del río Boconó tiene una superficie total de 161.406 Ha, sin embargo, como área de estudio se seleccionó una extensión de 132.966 Ha, la misma se encuentra sectorizada en tres subcuencas, cuyas superficies se pueden visualizar en el cuadro 1, en el que adicionalmente se muestran las microcuencas o sectores que conforman a cada subcuenca.

Se puede percibir que la subcuenca identificada como Medio Boconó, corresponde al área con mayor superficie; seguida de Alto Boconó, donde se encuentran las cabeceras del río principal y donde existe mayor actividad productora de agua que alimenta el caudal del río; y por último en dimensión, la subcuenca del río Burate, un afluente importante para la cuenca principal (ver figura 2 ).

Figura 1, Localización del área de estudio Figura 2. Mapa de la cuenca del río Boconó con la sectorización en Subcuencas. Adaptado de: M.A.R.N.R. Diagnóstico de la Cuenca del río Boconó (1994). Cuadro 1, Subcuencas que conforman la cuenca del río Boconó. Para efectos de la investigación fueron seleccionadas siete (07) estaciones climatológicas. El criterio empleado fue su ubicación dentro de los límites de la cuenca alta y media, comprendidos entre las coordenadas 08º57’24” y 09º31’40” de Latitud Norte y 70º04’37” y 70º36’15” de Longitud Oeste.

1. En la figura 3 se presenta la ubicación geográfica de las estaciones que cumplieron con el principio expuesto, éstas se muestran sobre una imagen de la cuenca del río Boconó realizada con el programa ArcGis 9.2.
2. Dicho recurso cartográfico permite apreciar la distribución de las estaciones de trabajo, las cuales se encuentra codificadas de la siguiente forma: EJ-El Jarillo, SG- San Giusto, PG- Páramo Guaramacal, BA- Boconó Aeropuerto, TO-Tostós, NI- Niquitao, LM- Las Mesitas.

Figura 3. Ubicación de las Estaciones en estudio sobre la cuenca alta y media del río Boconó (Información suministrada por el Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología). MÉTODO Fuente de los datos Se consideraron las siete estaciones mencionadas anteriormente, pertenecientes a la Red Climatológica del Ministerio del Ambiente y de los Recursos Naturales Renovables (actual Ministerio del Poder Popular para el Ambiente).

La fuente de los datos utilizados corresponde a los archivos digitalizados de INAMEH. El estudio comprendió un rango temporal que abarca desde desde 1957 hasta 2006, variando para cada estación en función de la disponibilidad de los registros históricos de las precipitaciones en cuanto a longitud de información.

Tenemos el caso de registros con más de 38 años (Las Mesitas-38, Tostós-40, El Jarillo-42, Niquitao-45) y series con registros menores (San Giusto-10, Boconó Aeropuerto-09 y Páramo Guaramacal-07 años). Métodos estadísticos utilizados en el pretratamiento de los datos.

Para el procesamiento inicial de los registros históricos, se partió de la premisa de que los datos son válidos, pues provienen de fuentes oficiales que suministran dicha información al INAMEH. Se usó el Software Excel para Windows, versión 2007, donde se realizó la transcripción de los datos de cada estación.

En este proceso, se determinó la identificación, estimación y ajuste de los datos climáticos faltantes de las estaciones seleccionadas, por medio de los métodos de datos faltante, longitud de los registros y determinación de homogeneidad de las series históricas de cada estación en estudio.

El cálculo de los datos faltantes. Empleando un método propuesto por Pereyra, Bando y Natividad (2004) que consiste en sustituir el dato faltante de la serie de precipitación por el promedio de los valores de los tres meses anteriores y los tres meses siguientes pertenecientes a la serie del mismo escenario en el que se encuentra el dato; para el último año registrado tomaron sólo los cinco meses anteriores.

Identificación de la longitud de los registros. Se realizó de acuerdo con lo presentado por Villalpando (1990), quien sustenta que para obtener datos confiables se deben utilizar series climáticas “intermedias” con un lapso entre 20 y 30 años, para regiones con climas templados y cálidos-lluviosos; en este caso las estaciones consideradas para el estudio superan la cantidad de años recomendados y en el caso de los que no tienen los años sugeridos, se compensa con el hecho de que la manipulación se realizará en función a los datos mensuales, que amplía la gama de datos empleados en las series y su posterior análisis.

1. Determinación de homogeneidad de las series.
2. Se emplearon dos técnicas, una cualitativa y otra cuantitativa.
3. Para la primera, se empleó lo expuesto por Pérez, Puche y Bracho (2008) quienes expresan que las causas más usuales de la heterogeneidad de una serie son las debidas a la variación de la ubicación de la estación meteorológica, a la modificación de los instrumentos de medida y a la alteración de las técnicas de observación.

En tanto, que ninguna de estas características se cumplía en las estaciones seleccionadas, se supone y asume que las series a analizar son homogéneas; asimismo, se resaltan las condiciones de que toda la data manipulada en este trabajo ha sido medida con instrumentos de igual procedencia, son ubicadas y se mantienen en el mismo espacio geográfico, con las mismas técnicas de observación y recolección de la información; y son representativas del entorno.

El método para determinar la homogeneidad de las series climatológicas de forma cuantitativa es la Prueba de Rachas, método sencillo desarrollado por Thom en el año 1966, (citado por Magaña, 2003), y el cual se aplicó a cada una de las estaciones, con el Software SPSS para Windows versión 15.0, específicamente en Pruebas No Paramétricas, empleando como punto de corte la Mediana.

Análisis de tendencia Para el análisis de las series temporales de las estaciones de la cuenca del río Boconó, se inició con una aplicación metodológica básica (el recurso usado fue el Software Excel para Windows, versión 2007), comenzando por la elaboración de los gráficos de las series temporales (con datos mensuales), donde se evidenciaron fluctuaciones marcadas, que dieron paso a la suavización por Medias Móviles (5 períodos) y determinación de la Tendencia Lineal, además la obtención de la Fórmula de la Línea Recta y el Coeficiente de Determinación (R 2 ) representativa de cada tendencia.

Cabe destacar, que por lo general la tendencia se analiza con series anuales, sin embargo, se trabajó con series mensuales justificándose en el hecho de que las series con datos menores a un año permiten evidenciar la distribución del régimen pluviométrico característico de la región, lo que no es representativo con montos anuales; adicionalmente, se sustenta el análisis de la tendencia considerando la estacionalidad.

Para ello, se empleó posteriormente la metodología ARIMA propuesta por Box-Jenkins en los años 70 (Makridakis y Wheelwrigth, 2000) para el análisis estadístico con mayor detalle de dichas series de tiempo, así como, la visualización y selección del mejor modelo que se ajusta a cada serie.

1. Tal como manifiestan De Arce y Mahía (2000), esta metodología es destinada a identificar, estimar y diagnosticar modelos dinámicos de series temporales en los que la variable tiempo juega un papel fundamental.
2. Se debe señalar, que del cuerpo metodológico desarrollado por Box-Jenkins, se empleó el modelo antes señalado, que tal como exponen los autores, es sólo una pequeña parte de lo que se conoce normalmente como “Econometría de Series Temporales”.

Para la aplicación de dicho modelo a las estaciones en estudio se empleó el Software SPSS para Windows versión 15.0. Luego del desarrollo de las distintas fases del modelo, se obtuvo el modelo ARIMA más representativo para cada una de las series (p,d,q) (P,D,Q), y se realizó el sobreajuste para determinar si existía un modelo que se adaptara mejor a la serie y que respondiera con mayor precisión al comportamiento de la misma, considerando el menor error típico resultante. Donde, la H 0 indica que la Serie Real (F 0 ) se ajusta a una Distribución Normal (F 1 ); mientras, la H 1 expresa que la Serie Real no se ajusta al criterio anterior. El valor de α=0,05 (5%), es la probabilidad de cometer el error de rechazar la hipótesis nula; por tanto los valores resultantes de la prueba determinan la aceptación o no de dicha normalidad.

Variación anual e interanual Para el cálculo de la variación anual e interanual, que exige la obtención de los indicadores y gráficos resultantes de las variaciones de las distintas estaciones, se utilizó el Software Excel para Windows, versión 2007. Los datos empleados fueron agrupados en series con montos anuales.

Las fórmulas empleadas son las siguientes: Pronóstico de comportamiento de las precipitaciones A fin de pronosticar el comportamiento de las precipitaciones en la cuenca del río Boconó, se utilizó cada uno de los modelos (ARIMA) seleccionados por estación, y considerando un período histórico y un período de validación, y se procedió a su elaboración gráfica.

Posteriormente, se empleó el listado de los valores estimados para una proyección del 2010 al 2015, además de los parámetros del modelo que indicaron los límites del intervalo de confianza superior e inferior al 95 %, obtenidos en las distintas fases del modelo ARIMA. RESULTADOS Homogeneidad de las series De acuerdo a los preceptos teóricos si tenemos una muestra con un número excesivamente grande o excesivamente pequeño de rachas se sugiere que la muestra no es aleatoria.

En el cuadro 2, se muestran los valores resultantes de la aplicación de la prueba de Rachas, se empleó como punto de corte la Mediana correspondiente a cada estación, se tienen dos grupos bien definidos correspondientes a los que el número de rachas fue inferior a la medida de Tendencia Central, estaciones tales como Páramo Guaramacal, San Giusto y Boconó Aeropuerto; y un segundo grupo, en que los números de rachas superan el punto de corte, tales estaciones son Tostós, El Jarillo, Niquitao y Las Mesitas. Los valores indicados en el cuadro 2, muestran los números de casos de cada estación, el valor de la Mediana, el número de casos que podrían ser menores o mayores/igual a la Mediana y el número de rachas; ésta última permite evidenciar la homogeneidad de cada estación.

• Análisis de Tendencia Cabe señalar que existen ciertas diferencias en cuanto a la longitud de los datos.
• Sin embargo, se puede evidenciar la evolución de la variable a lo largo del tiempo.
• En el Gráfico 1, se tiene la representación de cada serie temporal, lo común en ellas es la forma de oscilación, tomando en cuenta que se emplearon los datos mensuales, los períodos de lluvia y sequía durante el año se ven reflejados en dichos esquemas.

Gráfico 1. Series temporales de precipitación de las estaciones en estudio (Datos del Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología). La extensión de datos, dificulta que en esta primera presentación gráfica se defina la tendencia en cada serie, por tanto se ejecuta la aplicación de un método denominado Medias Móviles, a fin de suavizar la serie y definir el comportamiento de las mismas.

• Se aplica el método para cada serie, con un promedio de 5 años, por tanto se pierden los dos primeros y los dos último valores de cada serie.
• Es importante señalar, que con este método se logra una mejor visualización del comportamiento de las precipitaciones a través del tiempo, aunque sigue presentándose la dificultad de no ser suficiente el promedio de 5 años para definir la tendencia de la curva.

Sin embargo, se traza adicionalmente una línea de tendencia ajustada a una Recta. Estos resultados se muestran en el Gráfico 2, donde se evidencia en cada serie el movimiento ascendente y descendente de la curva de precipitación, lo que destaca la distribución de las precipitaciones a lo largo del año en cada estación y cuyo patrón se mantiene a través del tiempo se hace notar, asimismo, que en ciertos lapsos la intensidad de los montos decrece. En cuanto a la Línea de Tendencia, sólo en la estación PG se evidencia un descenso marcado de la tendencia, lo que indica que a pesar de mantenerse la distribución en el tiempo, los montos totales han disminuido. Para BA, la Tendencia indica incremento, por tanto, al pasar el tiempo se han hecho más intensas las precipitaciones.

1. En las restantes estaciones, la línea no es representativa de la serie, lo que resulta en una línea paralela al eje X sin describir comportamiento ascendente o descendente alguno.
2. Esto último lo corroboran los Coeficientes de Determinación (R 2 ) que se muestran en el cuadro 3 ; donde ninguna Recta llega al 5% de ajuste de la serie a la línea recta.

Cuadro 3, Fórmulas de la Recta de Tendencia y Coeficiente de Determinación de cada serie en estudio. Aplicación del modelo ARIMA: Tendencia considerando la estacionalidad A las series temporales de cada estación se les realizó el análisis de estacionalidad empleándose el modelo ARIMA, obteniendo el modelo que mejor se aplica para cada serie (resaltado en negrita).

Se tiene en el cuadro 4 la presentación de los cuatro sobre ajustes correspondientes y la selección del mejor. Luego de aplicar la Prueba K-S, los resultados se disponen en el cuadro 5, donde se evidencia que todas las estaciones responden positivamente a la Hipótesis Nula, en tanto que, el nivel de significancia de las estaciones supera el nivel de significación de la prueba (0,05).

Cuadro 4. Modelo ARIMA para serie estudiada y los sobreajustes Cuadro 5. Prueba de Kolmogorov- Smirnov aplicada a cada serie en estudio. Variación Anual En cuanto a la variación anual (VA) de las precipitaciones en las estaciones de la cuenca del río Boconó, se visualiza de forma general que las mismas han descrito un comportamiento que supera en la mayoría de los años, el año de referencia. En el gráfico 3, se evidencia el comportamiento de las VA de las estaciones: en PG la variación es hacia el decrecimiento de las precipitaciones de aproximadamente 20% por debajo de la referencia y además este comportamiento se mantiene en el tiempo.

Para el caso de Tostós, El Jarillo, Niquitao y Las Mesitas, se manifiestan comportamientos de variaciones anuales similares, un número significativo de los años de sus series presentan incrementos notorios de sus precipitaciones en relación con sus referencias, estos aumentos pueden llegar incluso al 80% por encima, lo que es indicador de estaciones con montos de precipitaciones abundantes; sin embargo, hay que resaltar como a partir de los años 1990 se mantiene una constante en las estaciones de disminuir porcentualmente los incrementos de precipitación, lo que indica que las estaciones disminuyen las precipitaciones al transcurrir del tiempo, se hacen más seca que años anteriores.

San Giusto y Boconó Aeropuerto muestran que sus comportamientos no son muy variables en relación con la referencia, no exceden ni decrecen más de un 20% e incluso se mantienen sobre la referencia, es decir, en estas localidades se mantiene a lo largo del tiempo una condición en cuanto a las precipitaciones sin mucha variación; sin embargo, cabe destacar que son dos estaciones con un lapso de tiempo corto, por tanto en las respectivas series es difícil apreciar cambios significativos. Variación Interanual La variación interanual (VIA) corresponde a la diferencia porcentual de precipitaciones entre un año y el anterior, en el cuadro 7 no se tiene resultado para los primeros años de cada serie. En el gráfico 4 se evidencia un patrón de VIA bien definido, aunque en las estaciones cuyas series históricas son cortas pareciera responder a mayor amplitud de variación, éstas marcan con regularidad que alrededor de cada dos años existe un cambio de comportamiento, es decir, se tienen aproximadamente dos años con montos de precipitación por encima de la referencia y dos por debajo de la misma, este hecho se repite en todas las estaciones, adicionalmente, es mayor el incremento de la precipitaciones que en promedio supera los 40%, que los déficits que no logran alcanzan estos valores.

También es de notar que hacia los últimos años de las series, la amplitud entre los valores máximos y mínimos de la VIA de precipitación se hace más estrecha, es decir, la variación es menor en cuanto al aumento y disminución de las mismas, manteniéndose una tendencia hacia el descenso de los montos, con excepción en la estación Boconó Aeropuerto.

Cuadro 7. Variación Interanual de las precipitaciones en cada estación de la cuenca del río Boconó. Predicciones de las precipitaciones en las estaciones de la cuenca del río Boconó Los resultados de las predicciones se representan el gráfico 5, donde se observa el comportamiento que tendrán las precipitaciones en ese lapso, adicionalmente existe un límite de confianza superior e inferior, rango en el que podría fluctuar la curva descrita por el modelo. Gráfico 5, Predicción de precipitaciones para las estaciones de la cuenca del río Boconó, período 2010- 2015. CONCLUSIONES Existen diferentes métodos para el análisis de la Tendencia de una serie temporal, sin embargo, hay que seleccionar el que mejor represente el comportamiento de la misma. Se evidenció en los resultados, que el uso del modelo de Tendencia Lineal no definió el comportamiento de las precipitaciones en el lapso establecido; no obstante, con las medias móviles se eliminaron las fluctuaciones más intensas y permitió visualizar un comportamiento bastante regular en cuanto a la distribución de la variable.

El modelo ARIMA ajusta más adecuadamente lo que se tiene en la realidad a dos funciones: ‘lo regular de la serie’ y ‘lo estacional’, tomando en cuenta la autorregresión, las medias móviles y las veces que hay que diferenciar para estabilizar la serie en tendencia y estacionalidad. En función a estos aspectos se llegó a las siguientes conclusiones: • En cuanto al análisis del Movimiento Secular (T), se concluye que la manifestación de pendientes (bx) con un ajuste de bondad muy bajo (R2) resultantes en las estaciones, indica que a largo plazo no se revele un comportamiento de aumento o disminución significativo de las precipitaciones.

El modelo lineal no es el más conveniente para el estudio de series de precipitación, ya que en éstas se presenta una marcada variación estacional, esto se desprende de los valores de R2. • Existe correspondencia entre el comportamiento temporal de las Variaciones Anuales y los Coeficientes de Determinación de cada serie.

1. En cuanto a la Variación Interanual, de un año a otro se evidenció mayor fluctuación en cuanto a los montos de precipitación.
2. En función al modelo ARIMA, el pronóstico realizado refleja un comportamiento estacional que se ajusta coherentemente con lo registrado y observado en el análisis del movimiento secular (T).

El modelo de pronóstico resultante coincide en todas las estaciones ubicadas dentro de la cuenca, siendo representado por (000) (101). Los pronósticos deben ser tomados en cuenta siempre y cuando se mantengan las condiciones generales de la cuenca del río Boconó.

1. Dichas predicciones son un aproximado de lo que se espera ocurrirá con las precipitaciones de cada estación, en cuanto las condiciones cambian, los pronósticos se alejarán más de los valores reales.
2. Cuando eso suceda, se deben incorporar las nuevas observaciones y considerar las nuevas condiciones para recalcular los pronósticos.

Es necesario evaluar los mecanismos físicos-geográficos que puedan estar disminuyendo los montos de las precipitaciones (variación anual) en los últimos años, siendo de importancia ya que dicha cuenca contribuye con un sistema de embalse (Boconó-Tucupido), así como por la estabilidad socio-económica de la población adyacente.

Asimismo, explicar el patrón de periodicidad que presentan las estaciones, realizar alguna correlación con fenómenos atmosféricos de origen oceánico. Con esta investigación se comprueba que es posible realizar pronósticos, sin embargo, al emplear el método de Box-Jenkins, ARIMA, es necesario que el tiempo a predecir sea más corto, esta es una debilidad que se tiene en el país debido a la falta de registros climatológicos actualizados.

Cierto que aunque no se puede predecir el comportamiento exacto de una variable climática, debido a los múltiples factores atmosféricos que en ella pueden influir, se deben estudiar para un aproximado de lo que hay que esperar del comportamiento de las mismas.

• REFERENCIAS 1.
• De Arce, R.
• Y Mahía, R. (2000).
• Modelos ARIMA, Definiciones Básicas.
• Departamento de Economía Aplicada.
• Disponible: http://www.uam.es 2.
• Graterol, X. (2000).
• Informe sobre la comisión realizada entre el 09/07/00 al 21/07/00, en el Municipio Boconó, Estado Trujillo.
• Trujillo: MARNR.3.
• Instituto Nacional de Meteorología e Hidrología (INAMEH).

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Portillo, M. y Del Cura F. (1993). Diagnóstico y tratamiento de los problemas de erosión concentrada. Movimientos de masa y eventos torrenciales y su impacto sobre el sistema vial y economía de la cuenca del río Boconó, estado Trujillo. Geodinámica Ambiental y Riesgos Naturales 1: IV Encuentro de Geógrafos de América Latina.

Mérida: ULA, 417- 430.10. Villalpando, J. (1990). Manual Técnico: Métodos de análisis de datos climatológicos archivados y preparación de información agroclimática. Guadalajara, México: Noriega Editores

¿Cuáles son los tipos de variaciones?

Existen tres tipos de variaciones: variación directa, variación inversa y variación conjunta.

¿Qué es la constante de variación?

La constante de variación en una variación directa es la relación constante (sin cambio) de cantidades variables. donde k es la constante de variación. Ejemplo 1: Si y varía directamente con respecto de x y y = 15 cuando x = 24, encuentre x cuando y = 25.

¿Qué es la variación lineal y la razón de cambio?

En una relación de variación lineal, la razón de cambio es la medida en la cual una variable de modifica con relación a la otra.

¿Qué es la variación inversa ejemplos?

Problemas con palabras – Variación inversa Mientras que la describe una relación lineal entre dos variables, la describe otro tipo de relación. Para dos cantidades con variación inversa, así como una cantidad aumenta, la otra cantidad disminuye. Por ejemplo, cuando Usted viaja a una ubicación particular, cuando su velocidad aumenta, el tiempo que le toma arribar a esa ubicación disminuye., Esto es, y varía inversemente como varía x si hay alguna constante diferente de cero k tal que, xy = k o donde y, Algunos problemas de palabras requieren el uso de la variación inversa. Aquí están los pasos para resolver los problemas de palabras de la variación inversa.

1. Comprender el problema.
2. Escribir la fórmula.
3. Identificar los valores conocidos y sustituirlos en la fórmula.
4. Resolver para la variable desconocida.

Ejemplo : El volumen V de un gas varía inversamente a la presión P en el. Si el volumen es de 240 cm 3 bajo una presión de 30 kg/cm 2, que presión debe aplicarse para tener un volumen de 160 cm 3 ?

• El volumen V varía inversamente a la presión P significa que si el volumen aumenta, la presión disminuye y cuando el volumen disminuye, la presión aumenta.
• Ahora escriba la fórmula para la variación inversa.
• PV = k
• Sustituya 240 por V y 30 por P en la fórmula y encuentre la constante
• (240)(30) = k
• 7200 = k
• Ahora escriba una ecuación y resuelva para la variable desconocida.
• Debemos encontrar la presión cuando el volumen es de 160 cm 3,
• Así,
• (160)( P ) = 7200.
• Resuelva para P,

Por lo tanto, una presión de 45 kg/cm 2 debe aplicarse para tener un volumen de 160 cm 3, Ejemplo : La longitud de una cuerda de violín varía inversamente con la frecuencia de sus vibraciones. Una cuerda de violín de 14 pulgadas de largo vibra a una frecuencia de 450 ciclos por segundo. Encuentre la frecuencia de una cuerda de violín de 12 pulgadas.

1. La longitud ( l ) varía inversamente con la frecuencia ( f ), cuando la longitud aumenta, la frecuencia disminuye y cuando la longitud disminuye, la frecuencia aumenta.
2. Ahora escriba la fórmula para la variación inversa.
3. lf = k,
4. Sustituya 450 por f y 14 por l en la fórmula y encuentre la constante.
5. (450)(14) = k
6. 6300 = k
7. Ahora escriba una ecuación y resuelva para la variable desconocida.
8. Debemos encontrar la frecuencia de una cuerda de violín de 12 pulgadas.
9. Así,
10. (12)( f ) = 6300.
11. Resuelva para f,

Por lo tanto, la cuerda de violín de 12 pulgadas vibra a una frecuencia de 525 ciclos por segundo. : Problemas con palabras – Variación inversa

¿Cómo saber si es una variación directa?

(Algunos libros describen la variación directa al decir que ‘ y varía directamente con respecto de x ‘ o que ‘ y es directamente proporcional a x. ‘) Esto significa que así como x aumenta, y aumenta y así como x disminuye, y disminuye.

¿Cuándo se usa la variación?

Definiciones – Variación: es la disposición de una parte del total de elementos en un orden determinado. Aquí si importa el orden. Por ejemplo, si quiero saber de cuántas formas se puede elegir al campeón y subcampeón del mundial, no es lo mismo salir campeón que subcampeón, por ello, aquí si importa el orden.

Combinación: disposición de una parte del total de elementos sin tener en cuenta el orden. Aquí no importa el orden de los elementos. Por ejemplo, si quiero saber de cuántas formas se puede elegir a 2 colores de un total de 10 para combinarlos, no importa el orden en que los elija, el resultado será el mismo.

Permutación: es la disposición de todos los elementos en un orden determinado. Aquí si importa el orden. Por ejemplo, si quiero saber cuántos resultados posibles puede tener una carrera en la que participan 4 caballos, tengo que ordenar a todos los elementos, es decir, a los 4 caballos, como no es lo mismo salir primero que segundo en la carrera, aquí si importa el orden, y se necesita ordenar a todos los elementos, por ello, se trata de una permutación de 4 elementos.

¿Qué es la variación en un gráfico?

Variación. Si observamos una gráfica vemos que en unos puntos la gráfica sube (Crecimiento), otros en los que baja (Decrecimiento) y otros en los que ni sube ni baja, es decir, permanece constante. Estos aumentos o disminuciones de la variable dependiente es lo que denominamos variación de la función.

¿Qué son variaciones y combinaciones?

Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces no plantea ningún problema, ya que son un número reducido y se pueden calcular con facilidad: Por ejemplo : Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2.

Tan sólo hay un caso favorable, mientras que los casos posibles son seis. Probabilidad de acertar al primer intento el horóscopo de una persona. Hay un caso favorable y 12 casos posibles. Sin embargo, a veces calcular el número de casos favorables y casos posibles es complejo y hay que aplicar reglas matemáticas: Por ejemplo : 5 matrimonios se sientan aleatoriamente a cenar y queremos calcular la probabilidad de que al menos los miembros de un matrimonio se sienten junto.

En este caso, determinar el número de casos favorables y de casos posibles es complejo. Las reglas matemáticas que nos pueden ayudar son el cálculo de combinaciones, el cálculo de variaciones y el cálculo de permutaciones, a) Combinaciones: Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc.

• Elementos que se pueden formar con los “n” elementos de una nuestra.
• Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden.
• Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3.
• Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3).

En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez. b) Variaciones : Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc.elementos que se pueden establecer con los “n” elementos de una muestra.

1. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones).
2. Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los número 1, 2 y 3.
3. Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3).

En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos. c) Permutaciones: Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos.

¿Cómo se calcula la variación proporcional?

Dos variables X e Y son proporcionales cuando multiplicando una de ellas por una constante, la otra queda multiplicada o dividida por la misma constante. La proporcionalidad entre las variables puede ser directa o inversa.

¿Cómo saber si una tabla es directamente proporcional?

Es importante que recuerdes que si en una tabla el cociente entre la cantidad de la segunda fila y la que le corresponde en la primera fila es siempre el mismo, se dice que ambas magnitudes (Peso y Precio) son directamente proporcionales.

¿Cuál es el factor de proporcionalidad ejemplos?

Factor de proporcionalidad El factor de proporcionalidad es un factor que permite sacar la porción del IVA pagado que se puede restar del IVA cobrado. En otras palabras, es un porcentaje que limita la cantidad que una persona puede deducirse de acuerdo a las ventas realizadas, ya sea con Iva tarifa 12% o IVA tarifa 0%.

Se diferencian tres tipos de crédito tributario, los cuales son:Crédito tributario total: El contribuyente tiene derecho a utilizar todo el IVA pagado, ya que el contribuyente comercializa bienes o servicios que gravan tarifa 12% de IVA.Crédito tributario cero: El contribuyente no puede utilizar nada del IVA pagado, ya que todo lo que ha comercializado el contribuyente, son bienes o servicios que gravan IVA con tarifa 0%.Crédito tributario parcial: El contribuyente tiene derecho a utilizar una porción del IVA pagado, ya que éste comercializa bienes y servicios que gravan IVA tanto 0% y 12%.Por ejemplo: Una persona registró los siguientes movimientos en el mes de Diciembre:Ventas con tarifa 12%: $12,000Ventas con tarifa 0%: $8,000Compras: $9,500El IVA en las ventas con tarifa 12% es de $1,440El IVA en las ventas con tarifa 0% es de $0El IVA total es de $1,440El IVA en las compras es de $1,140Para obtener el factor de proporcionalidad, se usa la fórmulaFP: Ventas gravadas con 12%/Total de ventasFP: 12,000/20,000FP: 0.60IVA – $1,440*0.60: $684IVA cobrado – proporción a deducir: $1,440-$684: $756 —–Valor a pagar

: Factor de proporcionalidad

¿Qué es una tabla de valor posicional?

Una tabla de valor posicional es un gráfico que muestra cómo los números se dividen en la posición de uni- dades (o los unos), el lugar de decenas, el lugar de centenas, y así sucesivamente. Las tablas pueden ayudar con la suma y la resta.